Em matemática, o teorema de Goldbach-Euler (também conhecido como teorema de Goldbach), afirma que a soma de 1/(p − 1) sobre o conjunto de potências perfeitas p, excluindo 1 e omitindo repetições, converge para 1:

Este resultado foi publicado pela primeira vez no artigo de 1737 de Euler, "Variæ observationes circa series infinitas". Euler atribuiu o resultado a uma carta (agora perdida) de Goldbach.

Demonstração original

A demonstração original de Goldbach para Euler envolvia atribuir uma constante à série harmônica: , que é divergente. Tal demonstração não é considerada rigorosa pelos padrões modernos. Há uma forte semelhança entre o método de peneirar potências empregado em sua demonstração e o método de fatoração usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a função zeta de Riemann.

Seja dado por

Como a soma do inverso de todas as potências de 2 é , subtrair os termos com potências de 2 de fornece

Repita o processo com os termos com potências de 3:

Ausentes da soma acima estão agora todos os termos com potências de 2 e 3. Continue o processo removendo termos com potências de 5, 6, 7, 10 e assim por diante (4, 8 e 9 já foram removidos com 2 e 3) até que o lado direito seja exaurido para o valor de 1. Por fim, obtemos a equação

que rearranjamos para

onde os denominadores consistem em todos os inteiros positivos que são os não-potências menos 1. Subtraindo a equação anterior da definição de dada acima, obtemos

onde os denominadores agora consistem apenas em potências perfeitas menos 1.

Embora careça de rigor matemático, a demonstração de Goldbach fornece um argumento razoavelmente intuitivo para a veracidade do teorema. Demonstrações rigorosas exigem um tratamento adequado e mais cuidadoso dos termos divergentes da série harmônica. Outras demonstrações fazem uso do fato de que a soma de 1/(p − 1) sobre o conjunto de potências perfeitas p, excluindo 1 mas incluindo repetições, converge para 1 demonstrando a equivalência:

Ver também Conjectura de Goldbach Lista de somas de recíprocos

Referências

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