Em matemática, o teorema das séries de Riemann, também chamado de teorema do rearranjo de Riemann, nomeado em homenagem ao matemático alemão do século XIX Bernhard Riemann, afirma que se uma série infinita de números reais é condicionalmente convergente, então seus termos podem ser arranjados em uma permutação de modo que a nova série convirja para um número real arbitrário, e rearranjada de tal forma que a nova série divirja. Isso implica que uma série de números reais é absolutamente convergente se, e somente se, for incondicionalmente convergente.

Como exemplo, a série

converge para 0 (para um número suficientemente grande de termos, a soma parcial aproxima-se arbitrariamente de 0); mas substituir todos os termos por seus valores absolutos resulta em

cuja soma é infinito. Portanto, a série original é condicionalmente convergente e pode ser rearranjada (tomando os dois primeiros termos positivos seguidos pelo primeiro termo negativo, seguidos pelos próximos dois termos positivos e então o próximo termo negativo, etc.) para produzir uma série que converge para uma soma diferente, como

que resulta no ln 2. Mais geralmente, usar esse procedimento com p positivos seguidos por q negativos resulta na soma ln(p/q). Outros rearranjos fornecem outras somas finitas ou não convergem para nenhuma soma.

História É um resultado fundamental que a soma de uma quantidade finita de números não depende da ordem em que são adicionados. Por exemplo, . A observação de que a soma de uma sequência infinita de números pode depender da ordem das parcelas é comumente atribuída a Augustin-Louis Cauchy em 1833. Ele analisou a série harmônica alternada, mostrando que certos rearranjos de seus termos resultam em limites diferentes. Por volta da mesma época, Peter Gustav Lejeune Dirichlet destacou que tais fenômenos são descartados no contexto da convergência absoluta, e deu mais exemplos do fenômeno de Cauchy para algumas outras séries que não são absolutamente convergentes.

No decorrer de sua análise das séries de Fourier e da teoria da integração de Riemann, Bernhard Riemann forneceu uma caracterização completa do fenômeno do rearranjo. Ele provou que, no caso de uma série convergente que não converge absolutamente (conhecido como convergência condicional), rearranjos podem ser encontrados de modo que a nova série convirja para qualquer número real arbitrariamente prescrito. O teorema de Riemann é hoje considerado uma parte fundamental do campo da análise matemática.

Para qualquer série, pode-se considerar o conjunto de todas as somas possíveis, correspondendo a todos os rearranjos possíveis dos termos. O teorema de Riemann pode ser formulado afirmando que, para uma série de números reais, esse conjunto é vazio, um único ponto (no caso da convergência absoluta), ou a reta real inteira (no caso da convergência condicional). Nesta formulação, o teorema de Riemann foi estendido por Paul Lévy e Ernst Steinitz para séries cujos termos são números complexos ou, ainda mais genericamente, elementos de um espaço vetorial real de dimensão finita... Eles provaram que o conjunto de somas possíveis forma um subespaço afim real. Extensões do Teorema de Lévy-Steinitz para séries em espaços de dimensão infinita foram consideradas por vários autores.

Definições Uma série converge se existe um valor tal que a sequência das somas parciais

converge para . Isto é, para qualquer ε > 0, existe um inteiro N tal que, se n ≥ N, então

Uma série converge condicionalmente se a série converge, mas a série diverge.

Uma permutação é simplesmente uma bijeção do conjunto dos inteiros positivos nele mesmo. Isso significa que se é uma permutação, então para qualquer inteiro positivo existe exatamente um inteiro positivo tal que Em particular, se , então .

Enunciado do teorema

Suponha que é uma sequência de números reais, e que é condicionalmente convergente. Seja um número real. Então existe uma permutação tal que

Também existe uma permutação tal que

A soma também pode ser rearranjada para divergir para ou para não se aproximar de nenhum limite, finito ou infinito.

Série harmônica alternada

Alterando a soma A série harmônica alternada é um exemplo clássico de uma série condicionalmente convergente:é convergente, enquantoé a série harmônica comum, que diverge. Embora, na apresentação padrão, a série harmônica alternada convirja para , seus termos podem ser arranjados para convergir para qualquer número, ou até mesmo para divergir.

Um exemplo disso é o seguinte. Comece com a série escrita na ordem usual,

e rearranje e agrupe os termos como

onde o padrão é: os dois primeiros termos são 1 e −1/2, cuja soma é 1/2. O próximo termo é −1/4. Os dois termos seguintes são 1/3 e −1/6, cuja soma é 1/6. O próximo termo é −1/8. Os próximos dois termos são 1/5 e −1/10, cuja soma é 1/10. Em geral, uma vez que todo inteiro ímpar ocorre uma vez positivamente e todo inteiro par ocorre uma vez negativamente (metade deles como múltiplos de 4, a outra metade como o dobro de números ímpares), a soma é composta por blocos de três, cada um dos quais pode ser simplificado como

Portanto, a série acima pode de fato ser escrita como

que é metade da soma original e só poderia ser igual à sequência original se o valor fosse zero. Pode-se demonstrar que esta série é maior que zero pela prova do teorema de Leibniz, usando que a segunda soma parcial é metade. Alternativamente, o valor de para o qual converge não pode ser zero. Portanto, mostra-se que o valor da sequência depende da ordem em que a série é calculada.

É verdade que a sequência

contém todos os elementos da sequência

No entanto, uma vez que o somatório é definido como e , a ordem dos termos pode influenciar o limite.

Obtendo uma soma arbitrária Uma maneira eficiente de recuperar e generalizar o resultado da seção anterior é usar o fato de que

onde γ é a Constante de Euler-Mascheroni, e onde a notação o(1) denota uma quantidade que depende da variável em questão (aqui, a variável é n) de tal forma que esta quantidade vai a 0 quando a variável tende ao infinito.

Segue-se que a soma de q termos pares satisfaz

e tomando a diferença, observa-se que a soma de p termos ímpares satisfaz

Suponha que dois inteiros positivos a e b sejam dados, e que um rearranjo da série harmônica alternada seja formado tomando, em ordem, a termos positivos da série harmônica alternada, seguidos por b termos negativos, e repetindo este padrão até o infinito (a própria série alternada corresponde a , o exemplo na seção anterior corresponde a a = 1, b = 2):

Então, a soma parcial de ordem (a + b)n desta série rearranjada contém termos ímpares positivos e termos pares negativos, logo

Segue-se que a soma desta série rearranjada é

Suponha agora que, mais genericamente, uma série rearranjada da série harmônica alternada seja organizada de tal forma que a razão entre o número de termos positivos e negativos na soma parcial de ordem n tenda a um limite positivo r. Então, a soma de tal rearranjo será

e isso explica que qualquer número real x pode ser obtido como soma de uma série rearranjada da série harmônica alternada: é suficiente formar um rearranjo para o qual o limite r seja igual .

Demonstração Existência de um rearranjo cuja soma resulta em qualquer real positivo M A descrição de Riemann do teorema e sua demonstração dizem na íntegra:

Isso pode ser detalhado da seguinte forma. Lembre-se de que uma série condicionalmente convergente de termos reais possui tanto infinitos termos negativos quanto infinitos termos positivos. Primeiro, defina duas quantidades, e por:

Isto é, a série inclui todos os an positivos, com todos os termos negativos substituídos por zeros, e a série inclui todos os an negativos, com todos os termos positivos substituídos por zeros. Uma vez que é condicionalmente convergente, tanto a série 'positiva' quanto a 'negativa' divergem. Seja qualquer número real. Tome o suficiente dos termos positivos para que sua soma exceda . Isto é, seja o menor inteiro positivo tal que

Isso é possível porque as somas parciais da série tendem a . Agora seja o menor inteiro positivo tal que

Este número existe porque as somas parciais de tendem a . Agora continue indutivamente, definindo como o menor inteiro maior que tal que

e assim por diante. O resultado pode ser visto como uma nova sequência

Além disso, as somas parciais dessa nova sequência convergem para . Isso pode ser visto a partir do fato de que, para qualquer ,

com a primeira desigualdade sendo válida devido ao fato de que foi definido como o menor número maior que que torna a segunda desigualdade verdadeira; como consequência, tem-se que

Visto que o lado direito converge para zero devido à premissa de convergência condicional, isto mostra que a -ésima soma parcial da nova sequência converge para conforme cresce. De maneira semelhante, a -ésima soma parcial também converge para . Como a -ésima, a -ésima, ... e a -ésima somas parciais assumem valores entre a -ésima e a -ésima somas parciais, conclui-se que toda a sequência de somas parciais converge para .

Todo elemento da sequência original aparece nesta nova sequência cujas somas parciais convergem para . Os elementos da sequência original que são zero aparecerão duas vezes na nova sequência (uma na sequência 'positiva' e outra na sequência 'negativa'), e a cada duas aparições, a segunda pode ser removida, o que não afeta a soma de forma alguma. A nova sequência é, portanto, uma permutação da sequência original.

Existência de um rearranjo que diverge ao infinito Seja uma série condicionalmente convergente. O que se segue é uma prova de que existe um rearranjo desta série que tende a (um argumento semelhante pode ser usado para demonstrar que também pode ser atingido).

A prova acima da formulação original de Riemann só precisa ser modificada de modo que seja selecionado como o menor inteiro maior que tal que

e com selecionado como o menor inteiro maior que tal que

A escolha de nos lados esquerdos é irrelevante, pois poderia ser substituída por qualquer sequência que cresce até o infinito. Como converge a zero conforme cresce, para suficientemente grande, tem-se que

e isso prova (assim como na análise de convergência acima) que a sequência das somas parciais da nova sequência diverge para o infinito.

Existência de um rearranjo que não se aproxima de nenhum limite, finito ou infinito A prova acima precisa apenas ser modificada de modo que seja selecionado como o menor inteiro maior que tal que

e com selecionado como o menor inteiro maior que tal que

Isso mostra diretamente que a sequência de somas parciais contém infinitos elementos maiores que 1, e também infinitos elementos menores que , portanto, a sequência de somas parciais não pode convergir.

Generalizações Teorema de Sierpiński Dada uma série infinita , podemos considerar um conjunto de "pontos fixos" , e estudar os números reais aos quais a série pode somar se formos autorizados apenas a permutar os índices em . Isto é, seja Com esta notação, temos:

Se for finito, então . Aqui significa a diferença simétrica. Se então . Se a série for uma soma absolutamente convergente, então para qualquer . Se a série for uma soma condicionalmente convergente, então pelo teorema das séries de Riemann, .

Sierpiński provou que rearranjando apenas os termos positivos pode-se obter uma série convergente a qualquer valor prescrito menor ou igual à soma da série original, mas valores maiores, em geral, não podem ser alcançados. Ou seja, seja uma soma condicionalmente convergente, então contém , mas não há garantias de que contenha qualquer outro número.

Mais genericamente, seja um ideal de , então podemos definir .

Seja o conjunto de todos os conjuntos de densidade assintótica zero, isto é, . Fica claro que é um ideal de .