Na matemática, o teorema dos três quadrados de Legendre afirma que um número natural pode ser representado como a soma de três quadrados de inteiros
se e somente se não for da forma para inteiros não negativos e . miniaturadaimagem|As distâncias entre os vértices de um cubo unitário duplo são as raízes quadradas dos seis primeiros números naturais devido ao Teorema de Pitágoras (√7 não é possível devido ao teorema dos três quadrados de Legendre). Os primeiros números que não podem ser expressos como a soma de três quadrados (isto é, números que podem ser expressos como ) são
7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... .
012072811211560240223923683311244964391566245471887526552208807632521008871284113697931612641087348139211953801520121034121648Valores inexprimíveis até 100 estão em negrito
História Pierre de Fermat forneceu um critério para que números da forma 8a + 1 e 8a + 3 sejam somas de um quadrado com o dobro de um outro quadrado, mas não apresentou uma demonstração. N. Beguelin notou em 1774Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369. que todo inteiro positivo que não for nem da forma 8n + 7, nem da forma 4n, é a soma de três quadrados, mas não apresentou uma demonstração satisfatória.Leonard Eugene Dickson, History of the theory of numbers, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint). Em 1796, Gauss provou o seu teorema Eureka atestando que todo inteiro positivo n é a soma de 3 números triangulares; isto equivale ao fato de que 8n + 3 é uma soma de três quadrados. Em 1797 ou 1798, A.-M. Legendre obteve a primeira demonstração do seu teorema dos 3 quadrados.A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797–1798), p. 202 e pp. 398–399. Em 1813, A. L. Cauchy notouA. L. Cauchy, Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177. que o teorema de Legendre equivale ao enunciado na introdução acima. Anteriormente, em 1801, Gauss havia obtido um resultado mais geral,C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 e 292. englobando o teorema de Legendre de 1797–98 como um corolário. Em particular, Gauss contou o número de soluções da expressão de um inteiro como uma soma de três quadrados, e isto se trata de uma generalização de um outro resultado de Legendre,A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, pp. 514–515. cuja demonstração se mostra incompleta. Este último fato parece ser o motivo de alegações posteriores incorretas segundo as quais a prova do teorema dos três quadrados dada por Legendre era falha e precisou ser completada por Gauss.Ver por exemplo: Elena Deza and M. Deza. Figurate numbers. World Scientific 2011, p. 314
Com o teorema dos quatro quadrados de Lagrange e o teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados de Girard, Fermat e Euler, o problema de Waring para está inteiramente resolvido.
Demonstrações A parte do "somente se" do teorema decorre de que o módulo de cada quadrado por 8 é congruente a 0, 1 ou 4. Há diversas provas da recíproca (além da prova de Legendre). Uma delas se deve a Dirichlet (em 1850) e tornou-se clássica.Ver por exemplo vol. I, parts I, II and III of : E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Segunda edição traduzida para o inglês por Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958. Ela demanda três lemas principais:
a lei da reciprocidade quadrática, o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas, e a classe de equivalência da forma quadrática ternária trivial.
Relação com o teorema dos quatro quadrados Este teorema pode ser utilizado para provar o teorema dos quatro quadrados de Lagrange, o qual estipula que todos os números naturais podem ser expressos como uma soma de quatro quadrados. Gauss destacou que o teorema dos quatro quadrados decorre facilmente do fato de que todo inteiro positivo cujo módulo por 4 for 1 ou 2 é a soma de 3 quadrados, uma vez que qualquer número inteiro positivo que não for divisível por 4 pode ser reduzido a essa forma caso se subtraia dele 0 ou 1. No entanto, provar o teorema dos três quadrados é algo substancialmente mais difícil do que uma demonstração direta do teorema dos quatro quadrados sem o uso do teorema dos três quadrados. De fato, o teorema dos quatro quadrados havia sido provado mais cedo, em 1770.
Ver também
Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados Função soma de quadrados Teorema da soma de dois quadrados