Na matemática, E6 é o nome de alguns grupos de Lie, grupos algébricos lineares ou suas álgebras de Lie intimamente relacionados, todos os quais possuem dimensão 78; a mesma notação E6 é usada para o retículo de raízes correspondente, que tem posto 6. A designação E6 vem da classificação de Cartan-Killing das álgebras de Lie simples complexas (veja o trabalho de Élie Cartan). Esta classifica as álgebras de Lie em quatro séries infinitas rotuladas An, Bn, Cn, Dn, e cinco casos excepcionais rotulados E6, E7, E8, F4 e G2. A álgebra E6 é, portanto, um dos cinco casos excepcionais.
O grupo fundamental da forma adjunta de E6 (como um grupo de Lie complexo ou compacto) é o grupo cíclico Z/3Z, e o seu grupo de automorfismos externos é o grupo cíclico Z/2Z. Para a forma simplesmente conexa, sua representação fundamental tem 27 dimensões, e uma base é dada pelas 27 retas em uma superfície cúbica. A representação dual, que é inequivalente, também possui 27 dimensões.
Na física de partículas, E6 desempenha um papel em algumas teorias da grande unificação.
Formas reais e complexas Existe uma única álgebra de Lie complexa do tipo E6, correspondendo a um grupo complexo de dimensão complexa 78. O grupo de Lie adjunto complexo E6 de dimensão complexa 78 pode ser considerado como um grupo de Lie real simples de dimensão real 156. Este tem o grupo fundamental Z/3Z, tem como subgrupo compacto máximo a forma compacta (veja abaixo) de E6 e possui um grupo de automorfismos externos não cíclico de ordem 4 gerado pela conjugação complexa e pelo automorfismo externo que já existe como um automorfismo complexo.
Assim como o grupo de Lie complexo do tipo E6, existem cinco formas reais da álgebra de Lie e, correspondentemente, cinco formas reais do grupo com centro trivial (todas as quais possuem um revestimento duplo algébrico, e três das quais têm revestimentos não algébricos adicionais, fornecendo outras formas reais), todas de dimensão real 78, como segue:
A forma compacta (que geralmente é a que se tem em mente se nenhuma outra informação for dada), que possui grupo fundamental Z/3Z e grupo de automorfismos externos Z/2Z. A forma cindida (split), EI (ou E6(6)), que tem como subgrupo compacto máximo Sp(4)/(±1), grupo fundamental de ordem 2 e grupo de automorfismos externos de ordem 2. A forma quase-cindida (quasi-split) EII (ou E6(2)), que tem como subgrupo compacto máximo SU(2) × SU(6)/(centro), grupo fundamental cíclico de ordem 6 e grupo de automorfismos externos de ordem 2. EIII (ou E6(-14)), que tem como subgrupo compacto máximo SO(2) × Spin(10)/(centro), grupo fundamental Z e grupo de automorfismos externos trivial. EIV (ou E6(-26)), que tem como subgrupo compacto máximo F4, grupo fundamental cíclico trivial e grupo de automorfismos externos de ordem 2.
A forma EIV de E6 é o grupo de colineações (transformações que preservam retas) do plano projetivo octoniônico OP2. (teorema 7.4 na página 335, e parágrafo seguinte). Ele também é o grupo de transformações lineares que preservam o determinante da álgebra de Jordan excepcional. A álgebra de Jordan excepcional possui 27 dimensões, o que explica o motivo da forma real compacta de E6 ter uma representação complexa de 27 dimensões. A forma real compacta de E6 é o grupo de isometrias de uma variedade riemanniana de 32 dimensões conhecida como 'plano projetivo bioctoniônico'; construções similares para E7 e E8 são conhecidas como planos projetivos de Rosenfeld, e são parte do quadrado mágico de Freudenthal.
E6 como um grupo algébrico Por meio de uma base de Chevalley para a álgebra de Lie, pode-se definir E6 como um grupo algébrico linear sobre os inteiros e, consequentemente, sobre qualquer anel comutativo e em particular sobre qualquer corpo: isso define a chamada forma adjunta cindida (às vezes também conhecida como "não torcida") de E6. Sobre um corpo algebricamente fechado, esta e o seu revestimento triplo são as únicas formas; contudo, sobre outros corpos, existem frequentemente muitas outras formas, ou "torções" (twists) de E6, que são classificadas no arcabouço geral da coomologia de Galois (sobre um corpo perfeito k) pelo conjunto H1(k, Aut(E6)) o qual, como o diagrama de Dynkin de E6 (veja abaixo) tem grupo de automorfismos Z/2Z, é mapeado para H1(k, Z/2Z) = Hom(Gal(k), Z/2Z) com núcleo ., §2.2.4
Sobre o corpo dos números reais, a componente real da identidade dessas formas algebricamente torcidas de E6 coincide com os três grupos de Lie reais mencionados acima, mas com uma sutileza a respeito do grupo fundamental: todas as formas adjuntas de E6 têm grupo fundamental Z/3Z no sentido da geometria algébrica, com ação de Galois como nas raízes cúbicas da unidade; isto significa que elas admitem exatamente um revestimento triplo (que pode ser trivial nos pontos reais); as demais formas não compactas de grupos de Lie reais de E6, portanto, não são algébricas e não admitem representações de dimensão finita fiéis. A forma real compacta de E6, assim como as formas não compactas e são ditas serem interiores ou do tipo 1E6, significando que sua classe reside em ou que a conjugação complexa induz o automorfismo trivial no diagrama de Dynkin, enquanto as outras duas formas reais são ditas serem exteriores ou do tipo 2E6.
Sobre corpos finitos, o teorema de Lang-Steinberg implica que H1(k, E6) = 0, significando que E6 possui exatamente uma forma torcida, conhecida como 2E6: veja abaixo.
Automorfismos de uma álgebra de Albert Da mesma forma como o grupo algébrico G2 é o grupo de automorfismos dos octoniões e o grupo algébrico F4 é o grupo de automorfismos de uma álgebra de Albert, uma álgebra de Jordan excepcional, o grupo algébrico E6 é o grupo de automorfismos lineares de uma álgebra de Albert que preservam uma certa forma cúbica, chamada de "determinante"., §7.3
Álgebra
Diagrama de Dynkin O Diagrama de Dynkin para E6 é dado por:
150x150px
Raízes de E6 miniaturadaimagem|300x300px|Os 72 vértices do politopo 122 representam os vetores raízes do E6, como mostrado nesta projeção do Plano de Coxeter. Os vértices laranjas estão duplicados nesta projeção.
Diagrama de Coxeter-Dynkin: Embora eles gerem um espaço de seis dimensões, é muito mais simétrico considerá-los como vetores em um subespaço de seis dimensões de um espaço de nove dimensões. Então pode-se considerar as raízes como sendo
(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0), (0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0), (0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0), (0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0), (0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1), (0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),
além de todas as 27 combinações de onde é um dentre além de todas as 27 combinações de onde é um dentre
Raízes simples
Uma seleção possível para as raízes simples de E6 é:
(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)
(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)
(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)
(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)
(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)
miniaturadaimagem|300x300px|Grafo de E6 como um subgrupo de E8 projetado no plano de Coxeter miniaturadaimagem|351x351px|Diagrama de Hasse do poset de raízes de E6 com rótulos de aresta identificando a posição da raiz simples adicionada
Raízes de E6 derivadas das raízes de E8 E6 é o subconjunto de E8 onde um conjunto consistente de três coordenadas são iguais (ex.: primeira ou última). Isto facilita definições explícitas de E7 e E6 como:
E7 = {α ∈ Z7 ∪ (Z+)7 : Σαi2 + α12 = 2, Σαi + α1 ∈ 2Z}, E6 = {α ∈ Z6 ∪ (Z+)6 : Σαi2 + 2α12 = 2, Σαi + 2α1 ∈ 2Z}
As seguintes 72 raízes de E6 são derivadas desta maneira a partir das raízes pares de E8 reais cindidas. Note que as últimas 3 dimensões são iguais conforme o exigido:
480x480px
Uma descrição alternativa Uma descrição alternativa (de 6 dimensões) do sistema de raízes, a qual é útil ao se considerar E6 × SU(3) como um subgrupo de E8, é a seguinte:
Todas as permutações de
preservando o zero na última entrada,
e todas as seguintes raízes com um número ímpar de sinais positivos
Assim, os 78 geradores consistem das seguintes subálgebras:
Uma subálgebra SO(10) de 45 dimensões, incluindo os geradores acima mais os cinco geradores de Cartan correspondentes às primeiras cinco entradas. Duas subálgebras de 16 dimensões que se transformam como um espinor de Weyl de e o seu conjugado complexo. Estas possuem uma última entrada não nula. 1 gerador que é o seu gerador de quiralidade, o qual é o sexto gerador de Cartan.
Uma escolha de raízes simples para E6 é dada pelas linhas da seguinte matriz, indexada na ordem 120x120px:
Grupo de Weyl O Grupo de Weyl de E6 é de ordem 51840: ele é o grupo de automorfismos do único grupo simples de ordem 25920 (o qual pode ser descrito por qualquer um dos seguintes: PSU4(2), PSΩ6−(2), PSp4(3) ou PSΩ5(3)).
Matriz de Cartan
Subálgebras e representações importantes miniaturadaimagem|575x575px|Mergulhos dos subgrupos máximos de E6 de até dimensão 78 com a matriz de projeção associada. A álgebra de Lie E6 tem uma subálgebra F4, que é a subálgebra fixada por um automorfismo externo, e uma subálgebra SU(3) × SU(3) × SU(3). Outras subálgebras máximas que têm uma importância na física (veja abaixo) e que podem ser lidas a partir do diagrama de Dynkin, são as álgebras de SO(10) × U(1) e SU(6) × SU(2).
Adicionalmente à representação adjunta de 78 dimensões, existem duas representações "vetoriais" de 27 dimensões duais.
Os caracteres de representações de dimensão finita das álgebras e grupos de Lie reais e complexos são todos dados pela Fórmula de caráter de Weyl. As dimensões das representações irredutíveis menores são :
1, 27 (duas vezes), 78, 351 (quatro vezes), 650, 1728 (duas vezes), 2430, 2925, 3003 (duas vezes), 5824 (duas vezes), 7371 (duas vezes), 7722 (duas vezes), 17550 (duas vezes), 19305 (quatro vezes), 34398 (duas vezes), 34749, 43758, 46332 (duas vezes), 51975 (duas vezes), 54054 (duas vezes), 61425 (duas vezes), 70070, 78975 (duas vezes), 85293, 100386 (duas vezes), 105600, 112320 (duas vezes), 146432 (duas vezes), 252252 (duas vezes), 314496 (duas vezes), 359424 (quatro vezes), 371800 (duas vezes), 386100 (duas vezes), 393822 (duas vezes), 412776 (duas vezes), 442442 (duas vezes)...
Os termos sublinhados na sequência acima são as dimensões das representações irredutíveis possuídas pela forma adjunta de E6 (equivalentemente, aquelas cujos pesos pertencem ao retículo de raízes de E6), enquanto a sequência completa fornece as dimensões das representações irredutíveis da forma simplesmente conexa de E6.
A simetria do diagrama de Dynkin de E6 explica por que muitas dimensões ocorrem duas vezes, com as representações correspondentes sendo relacionadas pelo automorfismo externo não trivial; no entanto, às vezes há ainda mais representações do que isso, tais como as quatro de dimensão 351, duas das quais são fundamentais e duas das quais não são.
As representações fundamentais têm dimensões 27, 351, 2925, 351, 27 e 78 (correspondendo aos seis nós no diagrama de Dynkin na ordem escolhida para a matriz de Cartan acima, isto é, os nós são lidos primeiro na cadeia de cinco nós, com o último nó sendo conectado ao do meio).
Os mergulhos dos subgrupos máximos de E6 até a dimensão 78 são mostrados à direita.
Politopo E6 O politopo E6 é o fecho convexo das raízes de E6. Ele existe, portanto, em 6 dimensões; o seu grupo de simetria contém o Grupo de Coxeter para E6 como um subgrupo de índice 2.
Grupos de Chevalley e Steinberg do tipo E6 e 2E6
Os grupos do tipo E6 sobre corpos arbitrários (em particular, corpos finitos) foram introduzidos por .