A coomologia motívica é um invariante de variedades algébricas e de esquemas mais gerais. É um tipo de coomologia relacionada a motivos e inclui o anel de Chow de ciclos algébricos como um caso especial. Alguns dos problemas mais profundos na geometria algébrica e na teoria dos números são tentativas de entender a coomologia motívica.
Homologia e coomologia motívica
Seja X um esquema de tipo finito sobre um corpo k. Um objetivo central da geometria algébrica é calcular os grupos de Chow de X, pois eles fornecem fortes informações sobre todas as subvariedades de X. Os grupos de Chow de X têm algumas das propriedades formais da homologia de Borel-Moore na topologia, mas algumas coisas estão ausentes. Por exemplo, para um subesquema fechado Z de X, existe uma sequência exata de grupos de Chow, a sequência de localização
enquanto na topologia isso faria parte de uma sequência exata longa.
Este problema foi resolvido generalizando os grupos de Chow para uma família bigraduada de grupos, os grupos de homologia motívica (de Borel-Moore) (que foram inicialmente chamados de grupos de Chow superiores por Bloch).Bloch, Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, seção 2.2 e Proposição 4.2.9. A saber, para todo esquema X de tipo finito sobre um corpo k e inteiros i e j, temos um grupo abeliano Hi(X,Z(j)), com o grupo de Chow usual sendo o caso especial:
Para um subesquema fechado Z de um esquema X, existe uma sequência exata longa de localização para grupos de homologia motívica, terminando com a sequência de localização para grupos de Chow:
De fato, esta é uma de uma família de quatro teorias construídas por Voevodsky: coomologia motívica, coomologia motívica com suporte compacto, homologia motívica de Borel-Moore (como acima) e homologia motívica com suporte compacto.Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, seção 2.2. Essas teorias têm muitas das propriedades formais das teorias correspondentes na topologia. Por exemplo, os grupos de coomologia motívica Hi(X,Z(j)) formam um anel bigraduado para todo esquema X de tipo finito sobre um corpo. Quando X é liso de dimensão n sobre k, existe um isomorfismo de dualidade de Poincaré
Em particular, o grupo de Chow CHi(X) de ciclos de codimensão i é isomorfo a H2i(X,Z(i)) quando X é liso sobre k.
A coomologia motívica Hi(X, Z(j)) de um esquema liso X sobre k é a hipercoomologia de X na topologia de Zariski com coeficientes em um certo complexo de feixes Z(j) em X. (Algumas propriedades são mais fáceis de provar usando a topologia de Nisnevich, mas isso fornece os mesmos grupos de coomologia motívica.Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Exemplo 13.11.) Por exemplo, Z(j) é zero para j < 0, Z(0) é o feixe constante Z, e Z(1) é isomorfo na categoria derivada de X a Gm[−1].Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Teorema 4.1. Aqui Gm (o grupo multiplicativo) denota o feixe de funções regulares invertíveis, e o deslocamento [−1] significa que este feixe é visto como um complexo em grau 1.
As quatro versões de homologia e coomologia motívica podem ser definidas com coeficientes em qualquer grupo abeliano. As teorias com coeficientes diferentes são relacionadas pelo teorema dos coeficientes universais, como na topologia.
Relações com outras teorias de coomologia
Relação com a K-teoria
Por Bloch, Lichtenbaum, Friedlander, Suslin e Levine, existe uma sequência espectral da coomologia motívica para a K-teoria algébrica para todo esquema liso X sobre um corpo, análoga à sequência espectral de Atiyah-Hirzebruch na topologia:
Assim como na topologia, a sequência espectral degenera após o produto tensorial com os racionais.Levine, K-theory and motivic cohomology of schemes I, eq. (2.9) e Teorema 14.7. Para esquemas arbitrários de tipo finito sobre um corpo (não necessariamente lisos), existe uma sequência espectral análoga da homologia motívica para a G-teoria (a K-teoria de feixes coerentes, em vez de fibrados vetoriais).
Relação com a K-teoria de Milnor
A coomologia motívica fornece um invariante rico já para corpos. (Note que um corpo k determina um esquema Spec(k), para o qual a coomologia motívica é definida.) Embora a coomologia motívica Hi(k, Z(j)) para corpos k esteja longe de ser compreendida em geral, há uma descrição quando i = j:
onde KjM(k) é o j-ésimo K-grupo de Milnor de k.Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Teorema 5.1. Como a K-teoria de Milnor de um corpo é definida explicitamente por geradores e relações, esta é uma descrição útil de uma parte da coomologia motívica de k.
Mapeamento para a coomologia étale
Seja X um esquema liso sobre um corpo k, e seja m um número inteiro positivo que é invertível em k. Então existe um homomorfismo natural (o mapa de ciclo) da coomologia motívica para a coomologia étale:
onde Z/m(j) à direita significa o feixe étale (μm)⊗j, com μm sendo as m-ésimas raízes da unidade. Isso generaliza o mapa de ciclo do anel de Chow de uma variedade lisa para a coomologia étale.
Um objetivo frequente em geometria algébrica ou teoria dos números é calcular a coomologia motívica, visto que a coomologia étale é muitas vezes mais fácil de entender. Por exemplo, se o corpo base k for o dos números complexos, então a coomologia étale coincide com a coomologia singular (com coeficientes finitos). Um resultado poderoso provado por Voevodsky, conhecido como a conjectura de Beilinson-Lichtenbaum, afirma que muitos grupos de coomologia motívica são, de fato, isomorfos aos grupos de coomologia étale. Esta é uma consequência do teorema do isomorfismo de resíduo de norma. A saber, a conjectura de Beilinson-Lichtenbaum (teorema de Voevodsky) afirma que para um esquema liso X sobre um corpo k e m um número inteiro positivo invertível em k, o mapa de ciclo
é um isomorfismo para todo j ≥ i e é injetivo para todo j ≥ i − 1.Voevodsky, On motivic cohomology with Z/l coefficients, Teorema 6.17.
Relação com motivos
Para qualquer corpo k e anel comutativo R, Voevodsky definiu uma categoria triangulada R-linear chamada categoria derivada de motivos sobre k com coeficientes em R, DM(k; R). Cada esquema X sobre k determina dois objetos em DM chamados de motivo de X, M(X), e o motivo de suporte compacto de X, Mc(X); ambos são isomorfos se X for próprio sobre k.
Um ponto básico da categoria derivada de motivos é que os quatro tipos de homologia motívica e coomologia motívica surgem todos como conjuntos de morfismos nesta categoria. Para descrever isso, primeiro note que existem motivos de Tate R(j) em DM(k; R) para todos os inteiros j, tais que o motivo do espaço projetivo é uma soma direta de motivos de Tate:
onde M ↦ M denota o deslocamento ou "funtor de translação" na categoria triangulada DM(k; R). Nesses termos, a coomologia motívica (por exemplo) é dada por
para todo esquema X de tipo finito sobre k.
Quando os coeficientes R são os números racionais, uma versão moderna de uma conjectura de Beilinson prediz que a subcategoria de objetos compactos em DM(k; Q) é equivalente à categoria derivada limitada de uma categoria abeliana MM(k), a categoria de motivos mistos sobre k. Em particular, a conjectura implicaria que os grupos de coomologia motívica podem ser identificados com os grupos Ext na categoria de motivos mistos.Jannsen, Motivic sheaves and filtrations on Chow groups, Conjectura 4.1. Isso está longe de ser conhecido. Concretamente, a conjectura de Beilinson implicaria a conjectura de Beilinson-Soulé, de que Hi(X,Q(j)) é zero para i < 0, o que é conhecido apenas em alguns casos.
Inversamente, uma variante da conjectura de Beilinson-Soulé, juntamente com as conjecturas padrão sobre ciclos algébricos de Grothendieck e as conjecturas de Murre sobre motivos de Chow, implicaria a existência de uma categoria abeliana MM(k) como o coração de uma t-estrutura em DM(k; Q).Hanamura, Mixed motives and algebraic cycles III, Teorema 3.4. Mais seria necessário para identificar grupos Ext em MM(k) com a coomologia motívica.
Para k um subcorpo dos números complexos, um candidato para a categoria abeliana de motivos mistos foi definido por Nori.Nori, Lectures at TIFR; Huber and Müller-Stach, On the relation between Nori motives and Kontsevich periods. Se existe uma categoria MM(k) com as propriedades esperadas (notavelmente que o funtor de realização de Betti de MM(k) para espaços vetoriais sobre Q é fiel), então ela deve ser equivalente à categoria de Nori.
Aplicações na geometria aritmética
Valores de funções L
Seja X uma variedade projetiva lisa sobre um corpo de números. A conjectura de Bloch-Kato sobre os valores de funções L prediz que a ordem de anulação de uma função L de X em um ponto inteiro é igual ao posto de um grupo de coomologia motívica adequado. Este é um dos problemas centrais da teoria dos números, incorporando conjecturas anteriores de Deligne e Beilinson. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é um caso especial. Mais precisamente, a conjectura prevê o coeficiente líder da função L em um ponto inteiro em termos de reguladores e de um emparelhamento de altura na coomologia motívica.
História O primeiro sinal claro de uma possível generalização dos grupos de Chow para uma teoria de coomologia motívica mais geral para variedades algébricas foi a definição e o desenvolvimento da K-teoria algébrica por Quillen (1973), generalizando o grupo de Grothendieck K0 de fibrados vetoriais. No início da década de 1980, Beilinson e Soulé observaram que as operações de Adams davam uma divisão da K-teoria algébrica tensionada com os racionais; os somandos agora são chamados de coomologia motívica (com coeficientes racionais). Beilinson e Lichtenbaum formularam conjecturas influentes prevendo a existência e as propriedades da coomologia motívica. A maioria, mas não todas as suas conjecturas, já foram provadas.
A definição de Bloch de grupos de Chow superiores (1986) foi a primeira definição integral (em oposição à racional) da homologia motívica de Borel-Moore para variedades quase-projetivas sobre um corpo k (e, consequentemente, da coomologia motívica, no caso de variedades lisas). A definição de grupos de Chow superiores de X é uma generalização natural da definição dos grupos de Chow, envolvendo ciclos algébricos no produto de X com o espaço afim que encontram um conjunto de hiperplanos (vistos como as faces de um simplexo) na dimensão esperada.
Na década de 1990, Voevodsky (com base em seu trabalho com Suslin) definiu os quatro tipos de homologia motívica e coomologia motívica para esquemas lisos sobre um corpo perfeito, junto com uma categoria triangulada de motivos dentro de um arcabouço muito robusto da teoria de homotopia . Diferentes construções também foram dadas por Hanamura e Levine. Agora se sabe que essas três categorias trianguladas de motivos são equivalentes, por meio do trabalho de Levine, Ivorra e Bondarko.
Voevodsky também definiu uma coomologia motívica para variedades singulares e a usou na prova da conjectura de Bloch-Kato. Isso ficou conhecido como coomologia motívica cdh, pois ela se assenta em uma sequência espectral do estilo Atiyah–Hirzebruch calculando a K-teoria algébrica invariante por homotopia (a localização cdh da K-teoria algébrica), em vez da própria K-teoria algébrica.
Ver também Pré-feixe com transferências Teoria de homotopia A¹ K-teoria
Referências
Bibliografia
Ligações externas
Harrer Daniel, Comparison of the Categories of Motives defined by Voevodsky and Nori Wiesława Nizioł, p-adic motivic cohomology in arithmetic
Categoria:Teorias de coomologia Categoria:Álgebra homotópica Categoria:Métodos topológicos da geometria algébrica Categoria:Teorias de cohomologia