thumb|360px|Grafisk fremstilling av løsning til Laplace-ligningen i to dimensjoner mellom to sirkler r = 2 og r = 4. Potensialet er null på den indre sirkelen, mens det på den ytre er u = 4 sin 5θ. Laplace-ligningen er en partiell differensialligning av andre orden. Den spiller en meget viktig rolle i teoretisk fysikk og matematisk analyse. Ved bruk av laplace-operatoren ∇ 2 som virker på en funksjon Φ med N variable, kan den skrives på den kompakte formen
Generelt kan det da vises at løsningene av ligningen er harmoniske funksjoner i N dimensjoner.
Differensialligningen ble funnet i 1782 av Pierre-Simon Laplace i forbindelse med beregning fra Newtons gravitasjonsteori av gravitasjonspotensialet for en kontinuerlig massefordeling. I 1812 viste Siméon Denis Poisson at ligningen ikke gjelder inni en slik fordeling, men kan den utvides med et nytt ledd på høyre side som er proporsjonalt med massetettheten. Den er da gyldig overalt og kalles for Poisson-ligningen.
Laplace-ligningen opptrer ofte ved beskrivelse av stasjonære prosesser i fysikk. For eksempel vil temperaturen i et legeme som styres av varmeledning, oppfylle ligningen når den ikke lenger forandrer seg med tiden. Også partikkeltettheten ved diffusjon vil være gitt som løsning av ligningen under stasjonære forhold. Likedan vil potensialene både innen elektrostatikken og magnetostatikken utenfor alle elektriske ladninger og strømmer være bestemt av Laplace-ligningen.
I kompleks analyse vil både den reelle og imaginære delen av en kompleks funksjon oppfylle den to-dimensjonale Laplace-ligningen. De er derfor begge harmoniske funksjoner. Dette er en direkte konsekvens av Cauchy–Riemanns ligninger.
Opprinnelse
I sine astronomiske arbeid basert på Newtons gravitasjonslov hadde Laplace vist at mange beregninger kunne gjøres enklere ved å innføre et gravitasjonspotensial skapt av en masse i stedet for gravitasjonskraften som den forårsaker.M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506136-9. Betrakter man en kontinuerlig massefordeling med tetthet ρ, er dette potensialet i et punkt r gitt ved integralet
hvor G er gravitasjonskonstanten. Ved bruk av kartesiske koordinater kan avstanden R = |r - r'| skrives som
slik at ∂R/∂x = (x - x' )/R. Dermed er ∂/∂x(1/R) = - (1/R3)(x - x' ). En videre derivasjon gir så
Sammen med de tilsvarende dobbeltderiverte i de to andre retningene blir dermed
Da disse derivasjonene kan tas inn under integrasjonssymbolet for gravitasjonspotensialet, har man dermed
Dette er Laplace-ligningen i kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner.
Elektrisk potensial
Da Coulombs lov for elektriske krefter har samme form som Newtons gravitasjonslov, er det å forvente at Laplace-ligningen også vil kunne beskrive det elektriske potensialet φ. Det følger fra Maxwells ligninger. Hvis man ikke har noe magnetisk felt, sier Faradays induksjonslov at det elektriske feltet E må oppfylle . Det må derfor kunne skrives som gradienten av potensialet, det vil si at Når man i tillegg er i et område hvor det ikke er noen elektriske ladninger, sier Maxwells første ligning at . Det betyr at som er Laplace-ligningen. Den tillater ofte å finne løsninger for det elektriske potensialet og derav feltet E, noe som er lettere enn å beregne det elektriske feltet direkte.D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
Potensialstrømning
En ideell væske beskrives ved Euler-ligningene. Under vanlig forhold er væsken virvelfri. Det betyr at curl til dens hastighet v er null, det vil si at . På samme måte som for det elektriske feltet, betyr det at hastighetsfeltet til væsken må kunne skrives som gradienten av et potensial Ψ. Da har man at og bevegelsen til væsken sies å være en potensialstrømning. I stedet for en beskrivelse ved de tre komponentene til vektorfeltet v, kan man da klare seg med den ene potensialfunksjonen Ψ.B. Lautrup, Physics of Continuous Matter, Institute of Physics Publishing, Bristol (2005). ISBN 0-7503-0752-8.
Beregning av dette potensialet forenkles når væsken i tillegg er inkompressibel, det vil si at den medfølgende tettheten er konstant. Kontinuitetsligningen sier da at væskens hastighet v tilfredsstiller . Benytter man her kravet om virvelfrihet, følger igjen Laplace-ligningen
Dette er vanligvis en tredimensjonal ligning da potensialet avhenger av tre koordinater, det vil si at Ψ = Ψ(x,y,z). Men løsning av den todimensjonale ligningen kan også ha praktisk betydning. For eksempel, så følger det fra Young-Laplace-ligningen for en glatt hinne av såpevann med en høyde H = H(x,y) over et plant referansenivå, at den er bestemt av hvor nå Laplace-operatoren involverer bare de to koordinatene x og y. Den glatte egenskapen til denne flaten og likedan såpebobler er en konsekvens av overflatespenningen til såpevannet.J. Oprea, The Mathematics of Soap Films: Explorations with Maple, American Mathematical Society, Providence RI (2000). ISBN 978-0-821-82118-3.
Generell definisjon
Laplace-ligningen i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater x = (x1, x2, ... ,xN ) er definert som
Ved å innføre nabla-operatoren for å kunne beregne gradient og divergens, kan ligningen på mer kompakt form skrives som
Her inngår på venstre side Laplace-operatoren i N dimensjoner. Ved å benytte andre koordinatsystem i dette rommet, vil den ta andre former som kan finnes fra denne generelle definisjonen.
Kulesymmetrisk løsning
Den enkleste, ikke-trivielle løsningen av Laplace-ligningen finnes ved å anta at den er invariant under rotasjoner. Den er da kun en funksjon av radius
Potensialet kan da skrives som Φ(r) = u(r ). Ved å benytte at ∂r/∂xi = xi /r, blir dermed
for hver koordinat xi. Dermed tar ligningen formen
Herav følger at løsningen må oppfylle betingelsen
som betyr at
der a er en konstant. Dermed vil de kulesymmetriske løsningene være av formen
hvor c er en konstant som sammen med a kan bestemmes av grensebetingelsene.
Standardform Det er vanlig å skrive disse løsningene på en standardform som benyttes ved beregning av Greens funksjon. Hvis man innfører den fulle romvinkel i N dimensjoner,
når den uttrykkes ved gammafunksjonen Γ(z ), er de kulesymmetriske løsningene
De gir potensialet utenfor en punktpartikkel i origo. Med denne standardnormeringen er potensialet Φ = 1/4π r i N = 3 dimensjoner.
Coulomb-potensialet oppfyller generelt Laplace-ligningen i alle områder av rommet hvor det ikke er ladninger. Da potensialet skapt av en punktladning alltid er kulesymmetrisk, betyr det at Coulomb-potensialet utenfor en slik ladning i N = 2 dimensjoner varierer logaritmisk med avstanden og går ikke mot null ved store avstander. Derimot vil Coulomb-potensialet skapt av en punktladning i rom med N > 3 dimensjoner avta mot null raskere ved store avstander enn i tre dimensjoner.
To dimensjoner
Den todimensjonale Laplace-ligningen
opptrer i kompleks analyse hvor en funksjon f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) må oppfylle Cauchy-Riemanns ligninger
Ved å derivere den første med hensyn på x og den andre med hensyn på y, vil en addisjon av de to resulterende ligningene gi at den reelle funksjonen u(x,y) tilfredsstiller Laplace-ligningen i to dimensjoner. Det samme gjelder for funksjonen v(x,y) som vises ved å derivere de to ligningene med hensyn på y i stedet.
Homogene polynom og harmoniske løsninger I N = 2 dimensjoner er det kun løsningen ln(x2 + y2) som er rotasjonssymmetrisk. Men oppgis dette kravet, er det en uendelighet av andre løsninger. En spesiell klasse er homogene polynom. De to enkleste er xy og x2 - y2 som er slike polynom av andre grad og oppfyller Laplace-ligningen. Uttrykkes disse i polare koordinater og , er de to løsningene proporsjonale med henholdsvis og .
Denne sammenhengen kan man også se ved å betrakte homogene polynom av tredje grad. Av dem er der fire, nemlig , , og . Men bare de to kombinasjonene og oppfyller Laplace-ligningen. I polarkoordinater kan de skrives som henholdsvis og når man benytter de Moivres formler. Og slik fortsetter det for polynom av høyere grad. Disse spesielle løsningene sies å være harmoniske da de kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner som beskriver harmoniske svingninger.
Separasjon av variable
Mer generelle løsninger kan finnes ved å anta at løsningene kan skrives som et produkt av to funksjoner hvor hver kun avhenger av en variabel. Dette kalles for metoden med «separasjon av variable».
Med denne antagelsen Φ(x,y) = X(x)Y(y) kan den to-dimensjonale Laplace-ligningen omformes til
Da x og y er uavhengige variable, kan denne ligningen bare være gyldig hvis hver side er lik med en konstant. Kalles den for K, vil dermed den opprinnelige Laplace-ligningen være redusert til de to vanlige differensialligningene
som er enklere å løse. For eksempel, hvis konstanten K er positiv slik at man kan skrive K = k2, vil og gi den enkle løsningen av den opprinnelige Laplace-ligningen. Mer generelle løsninger finnes ved å kombinere flere slike løsninger med verdier for K som er valgt for å oppfylle gitte grensebetingelser.
Polarkoordinater
Laplace-operator tar forskjell form avhengig av hvilke koordinatsystem man benytter. I to dimensjoner kan det ofte være hensiktsmessig å benytte polarkoordinater . Laplace-ligningen tar da formen
Løsninger kan igjen finnes ved separasjon av variable. Man skriver da V = R(r)F(φ) og setter inn i ligningen. Det vil da gi at
hvor λ er en konstant. Skal løsningene være periodiske i φ, må λ = n 2 hvor n er et helt positivt tall eller null. Vinkelavhengigheten til løsningene må derfor være
Den resterende, radielle ligningen er nå
som har løsningene
Her er an , bn , cn og dn integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i punktet , da må alle slik at den mest generelle løsningen tar formen
hvor man her har redefinert konstantene slik at cn = 1. Hvis man lar radius r = konstant, finner man her de harmoniske løsningene cos nφ og sin nφ som oppsto på en mer komplisert måte som homogene polynom ved bruk av kartesiske koordinater.
Tre dimensjoner Ved bruk av kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner har Laplace-ligningen formen
Som for to dimensjoner kan man finne løsninger med form av homogene polynom i de tre variable x, y og z. Disse har formen og kombinasjoner av slike hvor heltallene p, q og r har en konstant sum som er graden til polynomet. Har disse polynomene grad ℓ , er det i allminnelighet slike løsninger av Laplace-ligningen. De danner sfærisk harmoniske funksjoner , også kalt for kuleflatefunksjoner.
Av laveste grad ℓ = 1 har man tre løsninger som ganske enkelt er de tre koordinatene x, y og z. For ℓ = 2 finner man de fem løsningene , samt . Uttrykkes disse i kulekoordinater (r, θ, φ) slik at , og ser man at denne siste kombinasjonen tilsvarer Y20. På samme måte danner xy og de to sfæriske harmoniske funksjonene , mens xz og yz kan kombineres til å gi Med bruk av komplekse variable viser man lett at det homogene polynomet er direkte proporsjonal med den spesielle kuleflatefunksjonen
Kulekoordinater
Løsninger av Laplace-ligningen som involverer sfærisk harmonisk funksjoner kommer mer direkte frem ved å uttrykke Laplace-operatoren i kulekoordinater. For potensialet har den da formen
Ved en første separasjon av variable kan man skrive V = R(r)Y(θ,φ). Det gir
hvor λ må være en konstant. For at den partielle differensialligningen på høyre side skal ha regulære løsninger, må hvor ℓ er et helt, positivt tall. Den går da over til differensialligningen som definerer sfærisk harmoniske funksjoner. De betegnes med hvor heltallet m må ligge i intervallet og derfor tar forskjellige verdier.
Den radielle ligningen tar nå formen
og har løsninger av formen r ℓ eller 1/r ℓ + 1. Disse siste divergerer når r → 0. Disse løsningene har derfor den generelle formen