Catalantallene er en følge av naturlige tall som ofte forekommer i telleproblemer i kombinatorikk. For n ≥ 0, betegnes det n-te catalantallet Cn, og er gitt ved formelen
De første catalantallene er
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452.
Catalantallene er oppkalt etter den belgiske matematikeren Eugène Charles Catalan. Begrepet «catalantall» (Catalan numbers) ble første gang kjent brukt i 1938 av den skotske matematikeren Eric Temple Bell.
Egenskaper Catalantallene vokser asymptotisk som
Tallene tilfredsstiller den rekursive formelen
som forklarer hvorfor Cn så ofte dukker opp som svaret på kombinatoriske telleproblemer.
Den genererende funksjonen er
Anvendelser i kombinatorikk
Cn er antall måter et polygon med n + 2 kanter kan deles opp i n trekanter ved hjelp av diagonaler som ikke krysser hverandre. For eksempel for n = 3 kan en slik triangulering av femkanten foregå på 5 forskjellige måter:
center|Eksempler på catalantall i polygoner
Cn er antall måter n par av venstre- og høyreparenteser '(' og ')' kan skrives etter hverandre slik at hver høyreparentes lukker en venstreparentes.
Cn er antall binære trær med n+1 blader.
center|Eksempler på catalantall som binære trær
Referanser
Eksterne lenker Catalantallene:
Kategori:Kombinatorikk