Тарскиеви аксиоми (според Алфред Тарски) — се збир аксиоми за суштинскиот дел од Евклидовата геометрија кој може да се формулира како логика од прв ред со идентитет и за кој не е потребна теоријата на множества () ,т.е. тој дел од Евклидовата геометрија е формулирана како елементарна теорија ). Други модерни аксиомизации на Евклидовата геометрија се Хилбертовите аксиоми и Бирхофовите аксиоми .
Преглед На почетокот на неговата кариера Тарски предавал геометрија и ја истражувал теоријата на множества. Неговиот колега Стивен Гивант (1999) ја објаснил почетната точка на Тарски:
Од Енрикес, Тарски дознал за работата на Марио Пјери, италијански геометар кој бил под силно влијание на Пеано. Тарски го претпочитал системот на Пиери [од неговиот труд Точка и сфера], во кој логичката структура и сложеноста на аксиомите биле потранспарентни.
Потоа Гивант вели дека „со типична темелност“ Тарски го осмислил својот систем:
Што беше различно кај пристапот на Тарски кон геометријата? Како прво, аксиомскиот систем бил многу поедноставен од кој било од аксиомските системи кои постоеле дотогаш. Всушност, должината на сите Тарскиеви аксиоми заедно не е многу повеќе од само една од 24-те аксиоми на Пиери. Тоа беше првиот систем на Евклидовата геометрија кој беше доволно едноставен за сите аксиоми да се изразат само преку примитивните поими, без помош на дефинирани поими. Уште поважно, за прв пат беше направена јасна разлика помеѓу целосната геометрија и нејзиниот елементарен дел - т.е. нејзиниот дел од прв ред.
Како и другите модерни аксиоматизации на Евклидовата геометрија, Тарски користи формален систем составен од низи на симболи, наречени реченици, чија конструкција ги почитува формалните синтаксички правила и правилата на докажување кои ги одредуваат дозволените манипулации на речениците. За разлика од некои други модерни аксиоматизации, како што се Бирхофовата и Хилбертовата, аксиоматизацијата на Тарски нема примитивни објекти освен точките, така што променлива или константа не може да се однесува на права или агол. Бидејќи точките се единствените примитивни објекти, и бидејќи системот на Тарски е теорија од прв ред, не е можно ниту правите да се дефинираат како множества од точки. Единствените примитивни односи (предикати) се „помеѓу“ и „конгруентност“ меѓу точките.
Аксиоматизацијата на Тарски е пократка од нејзините ривали, во смисла дека Тарски и Гивант (1999) ја прават експлицитна. Таа е поконцизна од онаа на Пиери бидејќи Пиери имал само два примитивни поима додека Тарски вовел три: точка, меѓусебност и конгруентност. Таквата економија на примитивни и дефинирани поими значи дека системот на Тарски не е многу погоден за правење на Евклидова геометрија. Наместо тоа, Тарски го дизајнирал својот систем за да ја олесни неговата анализа преку алатките на математичката логика, т.е. за да го олесни изведувањето на неговите метаматематички својства. Системот на Тарски го има необичното својство дека сите реченици можат да бидат напишани во универзално-егзистенцијална форма, посебен случај на нормалната форма на пренекс. Оваа форма ги има сите универзални квантификатори кои претходат на сите егзистенцијални квантификатори, така што сите реченици може да се преформулираат во форма Овој факт му овозможил на Тарски да докаже дека Евклидовата геометрија може да се реши: постои алгоритам со кој може да се одреди дали некоја реченица е вистинита или не е. Аксиоматизацијата на Тарски е и комплетна. Ова не е во спротивност со првата теорема за некомплетност на Гедел, бидејќи на теоријата на Тарски и недостига експресивната моќ која е потребна за толкување на аритметиката на Робинсон ().
Аксиоми Алфред Тарски работел на аксиоматизација и метаматематика на Евклидовата геометрија наизменично од 1926 година до неговата смрт во 1983 година, при што во делото Тарски (1959) го најавил неговиот зрел интерес за оваа тема. Трудот на Тарски и неговите студенти за Евклидовата геометрија кулминирала во монографијата Schwabhäuser, Szmielew и Tarski (1983), во која ги поставиле 10-те аксиоми и една аксиомска шема прикажани подолу, поврзаната метаматематика и прилично малку од темата. Гупта (1965) дал важни придонеси, а во Тарски и Гивант (1999) е опишана историјата.
Фундаментални односи Овие аксиоми се поелегантна верзија на множеството кое Тарски го смислил во 1920-тите како дел од неговото истражување за метаматематичките својства на геометријата на Евклидската рамнина. За оваа цел било потребно преформулирање на таа геометрија како теорија од прв ред . Тарски го направил тоа поставувајќи универзум од точки, со мали букви кои означуваат променливи кои примаат вредности од тој универзум. Еднаквоста е обезбедена од основната логика (види логика од прв ред#Еднаквост и нејзините аксиоми ).Tarski and Givant, 1999, page 177 Тарски тогаш поставил две примитивни релации:
Помеѓу, триадична релација. Атомската реченица Bxyz или (y)B(x,z) означува дека y е „помеѓу“ x и z, со други зборови, дека y е точка на отсечката xz . (Оваа релација се толкува инклузивно, така што Bxyz е тривијално точно секогаш кога x=y или y=z). Конгруенција (или „еднаквост“), тетрадична врска. Атомската реченица Cwxyz или (w,x)C(y,z) или вообичаено wx ≡ yz може да се толкува како wx е складна на yz, со други зборови, дека должината на отсечката wx е еднаква на должината на отсечката yz .
Релацијата „помеѓу“ ја доловува афиноста (како што е паралелноста на прави) на Евклидовата геометрија. Со конгруентноста, е покриен нејзиниот метрички аспект (како агли и растојанија). Позадинската логика вклучува идентитет, бинарна релација. Во аксиомите се повикува на идентитетот (или неговата негација) во пет наврата.
Аксиомите подолу се групирани според типовите на релации на кои се повикуваат, а потоа се подредени прво според бројот на егзистенцијални квантификатори, а потоа според бројот на атомските реченици. Аксиомите треба да се читаат како универзални затворачи; оттука сите слободни променливи треба да се земат како премолчено универзално квантифицирани.
Аксиоми за конгруентност
Рефлексивност на конгруенцијата
Идентитет од конгруенција
Транзитивност на конгруенција
Коментар Додека релацијата конгруентност формално е 4-насочна врска меѓу точките, исто така може да се смета, неформално, како бинарна врска меѓу две отсечки и . Со комбинација на горенаведените аксиоми „Рефлексивност“ и „Транзитивност“, се докажува дека:
оваа бинарна релација е всушност еквиваленција. Таа е: рефлексивна: . симетрична: . транзитивна: . и редоследот по кој се наведени точките на отсечка е нерелевантен. . . .
Аксиомата „транзитивност“ тврди дека складноста е Евклидова, со тоа што е испочитуван првиот од „вообичаените поими“ на Евклид .
Аксиомата „Идентитет од конгруенција“ интуитивно наведува дека ако xy е складна со отсечка што почнува и завршува во иста точка, x и y се иста точка. Ова е тесно поврзано со поимот рефлексивност за бинарни односи .
Аксиоми за „Помеѓу“ десно|мини|Пашова аксиома
Идентитетот „Помеѓу“
Единствена точка на линискиот сегмент е .
Пашова аксиома
десно|мини| Непрекинатост: φ и ψ го делат зракот на две половини и аксиомата го потврдува постоењето на точка b која ги дели тие две половини
Аксиомска шема на непрекинатост
Нека φ(x) и ψ(y) се формули од прв ред што не содржат слободни примероци ниту на a ниту на b. Исто така, нека нема слободни примери на x во ψ(y) или на y во φ(x). Тогаш сите примери на следнава шема се аксиоми:
Нека r е зрак со крајна точка a. Нека формулите од прв ред φ и ψ ги дефинираат подмножествата X и Y од r, така што секоја точка во Y е десно од секоја точка од X (во однос на a). Тогаш постои точка b во r која лежи помеѓу X и Y. Во суштина, ова е конструкцијата на пресек на Дедекинд, изведена на начин што избегнува квантификација преку множества.
Пониска димензија
Постојат три неколинеарни точки. Без оваа аксиома, теоријата би можела да се моделира со еднодимензионална реална права, една точка или дури и празно множество.
Конгруентност и помеѓу десно|мини| Повисока димензија
Повисока димензија
Три точки кои се еднакво оддалечени од две различни точки формираат права. Без оваа аксиома, теоријата би можела да се моделира со тридимензионален или повисокодимензионален простор.
Евклидова аксиома
Секоја од трите варијанти на оваа аксиома, сите еквивалентни во однос на преостанатите Тарскиеви аксиоми со постулатот за паралела на Евклид, има предност во однос на другите:
А разделува егзистенцијални квантификатори ; Б има најмалку променливи и атомски реченици ; В бара само еден примитивен поим, меѓусебност. Оваа варијанта вообичаено се дава во литературата.
А :
Нека отсечка ги спојува средините на две страни од даден триаголник. Таа отсечка ќе биде долга колку половина од третата страна. Ова е еквивалентно на тврдењето дека збирот на внатрешните агли на кој било триаголник е еднаков на два прави агли.
Б :
За даден произволен триаголник, постои кружница која ги содржи сите негови темиња. десно|мини|Евклидова аксиома: В
В :
За произволен агол и која било точка v во неговата внатрешност, постои отсечка која ја содржи v, со крајни точки на двете страни од аголот.
Пет отсечки
десно|мини| Пет отсечки
Започнете со два триаголника, xuz и x'u'z'. Нацртајте ги отсечките yu и y'u', поврзувајќи го секое теме од секој триаголник со точка на страната која е спротивна на темето. Резултатот е два поделени триаголника, секој составен од пет отсечки. Ако четири отсечки од еден триаголник се складни со соодветна отсечка во другиот триаголник, тогаш петте отсечки во двата триаголника мора да бидат складни.
Ова е еквивалентно на признакот САС (страна-агол-страна) за складност на два триаголника; ако аглите uxz и u'x'z' се складни (постојат складни триаголници xuz и x'u'z' ), а двата пара соодветни страни се складни (xu ≡ x'u' и xz ≡ x'z'), тогаш преостанатиот пар страни се исто така складни (uz ≡ u'z).
Конструкција на отсечки
За која било точка y, во која било насока (одредена со x) може да се нацрта отсечка која е складна на која било дадена отсечка ab.
Дискусија Поаѓајќи од две примитивни релации чие поле е густ универзум од точки, Тарски изградил геометрија на отсечки на прави. Според Тарски и Гивант (1999: 192-93), ниту една од горенаведените аксиоми не е фундаментално нова. Првите четири аксиоми воспоставуваат некои елементарни својства на двете примитивни релации. На пример, Рефлексивноста и Транзитивноста на Конгруенцијата утврдуваат дека Конгруенцијата е релација за еквиваленција за правите отсечки. Идентитетот на Конгруенцијата и релацијата Помеѓу го решаваат тривијалниот случај кога тие односи се применуваат на неразлични точки. Теоремата xy ≡ zz ↔ x = y ↔ Bxyx ги проширува овие аксиоми на Идентитетот.
Голем број други својства на Помеѓу може да се изведат како теореми me]u кoи:
Рефлексивност: Bxxy; Симетрија: Bxyz → Bzyx; Транзитивност: (Bxyw ∧ Byzw) → Bxyz; Поврзаност: (Bxyw ∧ Bxzw) → (Bxyz ∨ Bxzy).
Последните две својства целосно ги подредуваат точките кои ја сочинуваат отсечката.
Горната и Долната димензија заедно бараат секој модел од овие аксиоми да има специфична конечна димензионалност. Соодветните промени во овие аксиоми даваат множества на аксиоми за Евклидовата геометрија за димензии 0, 1 и поголеми од 2 (Tarski and Givant 1999: Аксиоми 8(1), 8(n), 9(0), 9(1), 9(n) ). Забележете дека за цврстата геометријане се потрбни нови аксиоми, за разлика од случајот со Хилбертовите аксиоми. Згора на тоа, Долната димензија за n димензии е едноставно негација на горната димензија за n - 1 димензии.
Кога бројот на димензиите е поголем од 1, релацијата Помеѓу може да се дефинира преку Конгруентноста (Тарски и Гивант, 1999). Прво се дефинира релацијата „≤“ (каде се толкува „должината на отсечката е помала или еднаква на должината на отсечката "):