ハーディ＝リトルウッドの極大函数

数学において、局所可積分函数 のハーディ＝リトルウッドの極大函数（ハーディ＝リトルウッドのきょくだいかんすう、） とは、各点 を中心とする球上で が取り得る最大の平均値 を与える関数である。すなわち、

として定義される。ここで は を中心とする半径 の球を表し、 は の d-次元ルベーグ測度を表す。に対してを対応させる作用素は、実解析および調和解析の分野で用いられるある重要な非線形作用素である。

この平均値は 変数 と について連続であるため、 についての上限である極大函数 は可測である。 がほとんど至る所有限であるかは明らかではない。これはハーディ＝リトルウッドの極大不等式の系である。

動機 ハーディ＝リトルウッドの極大函数は、ルベーグの微分定理の研究において導入された。ルベーグの微分定理は、局所可積分函数 に対して、ほとんど至る所の で

が成り立つことを主張する。この収束を証明するための標準的な手法は、関数族の収束をその「最大の状態」を制御することで示すことである。極大函数 は、この平均化操作における最悪の振る舞いを捉えるものであり、極大不等式によって の大きさを元の関数 のノルムで抑えられることが、微分定理の成立を保証する鍵となっている。

ハーディ＝リトルウッドの極大不等式 G. H. Hardy と J. E. Littlewood の定理では、p > 1 に対して M は、Lp(Rd) からそれ自身へのとして有界であることが示されている。すなわち、f ∈ Lp(Rd) であるなら、極大函数 Mf は弱 L1-有界で、Mf ∈ Lp(Rd) である。定理の詳細を述べる前に、簡単のため、集合 {x | f(x) > t} を以下では {f > t} と表すことにする。今、次が成り立つ。

定理（弱いタイプの評価） d ≥ 1 と f ∈ L1(Rd) に対し、ある定数 Cd > 0 が存在して、次の不等式が任意の λ > 0 について成り立つ：

このハーディ＝リトルウッドの極大不等式を元に、マルチンケーヴィッチの補間定理の直接的な帰結として、次の「強いタイプ」の評価が得られる：

定理（強いタイプの評価） d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ および f ∈ Lp(Rd) に対し、ある定数 Cp,d > 0 が存在して次が成り立つ。

この強いタイプの評価において最良の Cp,d は知られていない。しかし、 は回転のカルデロン＝ジグムント法を利用して、次を証明した。

定理（次元独立性） 1 < p ≤ ∞ に対し、d に独立して Cp,d = Cp を取ることが出来る。

不等式の証明 この定理の証明には、以下のヴィタリの被覆補題の変種が一般的に用いられる。

補題： を 内の開球の任意の族とする。 であるならば、 の中の互いに素な有限個の球 が存在して、次を満たす：

弱いタイプの評価の証明 とする。定義より、各 に対してある球 が存在して

を満たす。ルベーグ測度の内規則性より、 の任意のコンパクト部分集合 に対して、上述の補題を適用すると、互いに素な球の有限集合 が存在して

が成り立つ。これが任意の で成り立つため、弱いタイプの評価が得られる。

強いタイプの評価の証明 の場合、前述の弱いタイプの評価と、 における自明な有界性 に対し、マルチンケーヴィッチの補間定理を適用することで直ちに導かれる。

減少再配列との関係 ハーディ＝リトルウッドの極大函数は、減少再配列（decreasing rearrangement）と密接な関係がある。関数 の減少再配列を とすると、1次元（）の場合において、次の不等式が成り立つことが知られている。

定理（1次元における評価） 実数直線上の局所可積分函数 に対し、 を の減少再配列とすると、ある定数 が存在して、すべての に対して以下が成り立つ：

この右辺の形式は、に現れる平均化作用素と一致する。この関係は、極大作用素が単に「大きい値を探す」だけでなく、関数の「分布」そのものと深く関わっていることを示唆している。より一般に、高次元においても極大函数の弱 評価は、この減少再配列を用いた解析手法によって精密化される。

また、減少再配列を用いることで、ローレンツ空間における極大作用素の有界性を導くことが可能となる。これは 空間の評価（強いタイプの評価）をより一般化した枠組みで捉えるものである。

バリエーション 中心を固定しない球上で平均をとる非中心型極大函数（uncentered maximal function）もよく用いられる：

ここで上限は を含むすべての球 についてとる。 また、球の代わりに二進立方体を用いる二進極大函数（dyadic maximal function）も定義される：

ここで はすべての二進立方体の集合である。これらの作用素も、中心型と同様の極大不等式を満たす。

応用 ハーディ＝リトルウッドの極大不等式は、以下の諸定理の証明に利用される。 ルベーグの微分定理 ラーデマッヘルの定理 非接回収束に関する

ルベーグの微分定理の証明のスケッチ 可積分函数 に対して、 とおく。 がほとんど至る所 0 であることを示したい。 任意の に対し、 と分解する。ここで は連続なコンパクト台を持つ関数、 は が極めて小さい関数とする。 連続関数については であるため、 となる。ここで であるから、極大不等式を用いることで、

を得る。 とすることで、 がほとんど至る所で成り立つことが示される。

関連項目 - ハーディとリトルウッドが1次元の極大不等式を証明するために用いた補題。 ルベーグの微分定理 対称減少再配分 - 減少再配列の一般化。 ローレンツ空間 - 極大作用素の有界性が議論される関数空間。 等周不等式 レイヤーケーキ表現 レイリー＝フェイバー＝クラーンの不等式

マッケンハウプトの重み

脚注

参考文献 John B. Garnett, Bounded Analytic Functions. Springer-Verlag, 2006 Antonios D. Melas, The best constant for the centered Hardy–Littlewood maximal inequality, Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688 Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005 Elias M. Stein, Maximal functions: spherical means, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 73 (1976), 2174–2175 Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1971 Gerald Teschl, Topics in Real and Functional Analysis (lecture notes)