マクスウェル分布

マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。

導出気体分子運動論では、成分をとする速度ベクトルについて、方向の速度成分の分布は、分子の質量を、ボルツマン定数を、絶対温度を、係数をとして

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数を求めるにはに関して積分した値が1になれば良いので

より、となる。したがって、方向の速度成分の分布は

となる。

また、方向の各速度の分布は互いに独立で、

が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さの分布は

となる。ここで、は半径で厚さの球殻の体積に相当するので、となり、またスカラー量である速さの大きさはなので、マクスウェル分布は

より

となる。

マクスウェル分布はの一つである。

速度分布

分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。

導かれる速度マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で""と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度」や「最確速度『化学・生命科学系のための物理化学』 p.29」などと呼ばれるものであり、記号でと表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので

より

となる。

次に求められる速度が平均速度である。これはマクスウェル分布の期待値なので

となる。

最後に求められる速度が根二乗平均速度である。これはマクスウェル分布のモーメントなので

となる。

また、これら3つの速度の比は

と表される。

脚注

出典

参考文献

マクスウェル分布

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