数論における加法的関数（かほうてきかんすう、）とは、正の整数 についての数論的関数 であって、任意の互いに素な と に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち
を満たすようなもののことをいうErdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online。加法的関数 が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、全ての（互いに素でない場合も含む）正の整数 と に対して が成立することをいう。 が完全加法的関数であるならば、 である。
すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。
例 完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：
対数関数の自然数 への制限。
素因数 の における重複度 (multiplicity)、すなわち を割り切るような の最大のべき指数 。
： の重複も含めた素因数の和（）。, のポテンシー (potency)、あるいは の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：
： の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（）。例：
, なぜならば は素因数を持たないから
続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：
： の異なる素因数の総数（）。例:
： の異なる素因数の和。 とも呼ばれる（）。例：
乗法的関数 任意の加法的関数 を用いて、乗法的関数 , すなわち、互いに素な と に対して
を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、 とおけばよい。
脚注
注釈
出典
参考文献
外部リンク