数学において、対数積分（たいすうせきぶん、） とは、全ての正の実数 において次の自然対数 を含む定積分によって定義される特殊関数である。

ただし関数 は において特異点を持つため、上記における の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

性質 におけるこの関数の発展挙動は、

ここではランダウの記号の一種である。参照。

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

ここで は 以下の素数の個数を示す素数計数関数である。 は次の式で定義される補正対数積分関数であり、オイラーの対数積分とも呼ばれる。

あるいは

である。（こちらの関数を と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。）は積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また よりも を非常に良く近似する。

より良くを近似するものとして

等がある。

関数 と指数積分 との間には、 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

関連項目

素数定理 指数積分 リーマン予想

外部リンク