ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう、）とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。

一般化された関数として、セルバーグ積分がある。

定義 , を満たす複素数 , に対して、ベータ関数は次式で定義される:

性質対称性ベータ関数は次のような対称性を持つ。

証明置換積分による計算を行う。とおくと、であり、また積分区間はからへと変化するから、

したがって、が示された。

関数等式ベータ関数は次の関係式を満たす。

積分表示変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は、である。

ポッホハマーの表示のリーマン面上の積分路として、実軸上の内の点から出発し、を正の向きに、を正の向きに、を負の向きに、を負の向きの順で回って、元の点に戻るを取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

ガンマ関数との関係ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

級数表示

ただし、は下降階乗冪:

である。

無限乗積表示

評価スターリングの公式より、複素数、の実部が十分大きな正の値であるとき、

一方、が十分大きくが固定されているとき、

特殊値複素数に対して、以下が成り立つ。

特に、

非負の整数、に対して、以下が成り立つ。

参考文献 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

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