チェバの定理

thumb|right|チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる

thumb|250 px|right|チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる

チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面幾何学の定理の1つである。11世紀のサラゴサの王で数学者 Yusuf al-Mu'taman ibn Hud（英語版） によって、数学全書 Kitab al-lstikmalの中で示された。 のちに、ジョバンニ・チェバが再発見し、1678年の著書De lineis rectisで発表したWeisstein。

定理 三角形ABCにおいて、任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

証明の方針 証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。

三角形の面積比を使う証明

線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する。三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、

同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、

この2式より、

三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、

同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、

この2式より、

三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、

同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、

この2式より、

すなわち、定理の左辺は

であるので1に等しい。

メネラウスの定理を使う証明 チェバの定理はメネラウスの定理を使って容易に証明できる。 三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、

が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、

チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。

逆 チェバの定理の逆もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、

が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。

双対性 射影幾何学においては、メネラウスの定理との双対性が示されている岡山正歩「教科書の少し向こうにある数学」https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/e-scimath/contents/t04/textbook_t04_all.pdf。

脚注

参考文献

関連項目

三角形の中心 メネラウスの定理

外部リンク