数学において、一般化された超幾何関数（いっぱんかされたちょうきかかんすう、）は、ガウスの超幾何関数（）およびクンマーの合流型超幾何関数を一般化した関数である。
定義 一般に
の形式で表される級数である。ただし、
はポッホハマー記号である。
型超幾何級数
ガウスの超幾何関数 古典的にはガウスの超幾何関数
を単に超幾何級数という原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. 共立出版.。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は原点の近傍で絶対収束する冪級数の和とそれから解析接続によって定義される解析関数としての超幾何関数を表すものである。
ガウスの超幾何関数以降 トーマス・クラウゼンがクラウゼンの超幾何関数を研究 が一般化 Leo August Pochhammerがポッホハマー記号（上昇階乗冪）を導入
超幾何級数 級数 の連続する項の比が の有理関数であるとき、これを超幾何級数（）というこの比が定数の場合を幾何級数と呼ぶのだった。。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に も含め正規化する。定義から
となる の多項式 が存在する。
たとえば指数関数のテイラー級数
は超幾何級数で、この場合
ゆえ , となる。
分母分子を一次式の積へ分解することで有理関数を
の形に書くことができる。ここで は分母分子の最高次係数の比である。歴史的な理由により分母の因子 を仮定しているが、必要なら分子に同じ因子を掛ければよいので一般性は失わない。以上から級数は
の形に書くことができる。この右辺を通常
と表記する。
収束条件 超幾何級数は、であれば絶対収束し、であれば発散する。の場合は、であれば絶対収束し、であれば発散する。の場合は、であれば絶対収束し、であれば発散する。但し、又はが正でない整数である場合は、となってで収束、或いはとなってで発散する場合がある。 収束条件の証明 第項をとする:
公比は
であるから、であれば絶対収束し、であれば発散する。の場合は、
であるから、
であり、
である。従って、ラーベの判定法 (Raabe's testWeisstein, Eric W. "Raabe's Test." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/RaabesTest.htmlHuelsman, C. B. (1965). RAABE'S TEST. Pi Mu Epsilon Journal, 4(2), 67-70.)により、であれば絶対収束し、であれば発散する。
超幾何関数
代数関数、指数関数、三角関数
正弦積分、余弦積分、指数積分
線形常微分方程式 一般化された超幾何関数は以下の線形常微分方程式を満たす。
ここで 演算子 である。
一般に 階の線形常微分方程式の解として定義される。
積分による表現 一般化された超幾何関数は以下のように積分で表現する。
メリン・バーンズ積分による表現（Barnes integral）
オイラー型積分表現
脚注
参考文献
関連項目 超幾何関数
オイラー積分 特殊関数 ガンマ関数 ベッセル関数 超冪根（ブリング根） ・・・ 一般化された超幾何級数で書ける。一般的な五次方程式は、超冪根を代数的操作と許容した場合、代数的に解ける。 係数の比 q超幾何級数（基本的な超幾何級数）
多変数 （アペル級数） ・・・ 2変数に一般化 - ポール・エミール・アペル （アンベール級数、ハンバート級数） ・・・ 合流型超幾何関数を2変数に一般化 - （ホーン関数） - カンペ・ド・フェリエの超幾何関数 ・・・ 2変数に一般化（一般的な六次方程式の解法で使用） - （ラウリチェッラ超幾何級数） 3変数、さらなる多変数化 - スリヴァスタヴァ・ダオウストの超幾何関数 GKZ超幾何関数（A-超幾何関数） 人物 ハロルド・エクストン H.M.スリヴァスタヴァ (Hari Mohan Srivastava) ダオウスト(Martha C. Daoust)（マーサ・クリスティーン・ダオスト (Martha Christine Daoust)） イズライル・ゲルファント
外部リンク Generalized Hypergeometric Function -- from Wolfram MathWorld 一般化超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions