順序数

数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、である。を拡張させた概念である。

定義整列集合に対して、を定義域とする写像を超限帰納法によって

と定義したとき、の値域をの順序数といい、これをと表記する。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合の “同値類” をの順序型と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の標準的な集合論においては、が空集合でない限りと同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。。

例

は自然数の通常の大小関係（を各集合に制限したもの）を表すものとすると、下記のようになる。

この例から推測されるように、一般に有限の整列集合に対してはの要素の個数に等しい。特に、任意の自然数に対してが成り立つので、自然数はすべて順序数である。

順序数に関して次が成り立つ：整列集合と整列集合が同型のとき、またそのときに限り。が有限整列集合のとき、はの要素の個数に等しい。整列集合の順序数をとし、を上の所属関係とすると、はと同型な整列集合である。が順序数であることと、がによって整列された推移的集合であることは同値である。が順序数のとき、の要素もすべて順序数である。

自然数全体の集合はによって整列された推移的な集合であるから、上の事実 4. よりは順序数である。

順序数の大小関係任意の順序数に対して次が成り立つことが示される：

かつまたはまたはそこで、のときはより大きいといい、と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、以上の（すなわちと等しいかより大きい）順序数を無限順序数と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ：整列集合が整列集合のある始切片と同型のとき、またそのときに限り。有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。が順序数のとき、はより大きな順序数のうちで最小のものである。をの後続者と呼ぶ。が順序数からなる集合のとき、もまた順序数であり、の最小上界となっている。そこで、をとも書く。順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。

順序数の並び方を次のように図示することができる：

まず、が最小の順序数である。その後にと有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数である。の後にはまたその後続者たちがと無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後にと呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

順序数の特徴付け集合について以下はZFで同値である。は順序数である。は推移的集合であり帰属関係に関する整列集合である。（ジョン・フォン・ノイマンの定義）. 著者はこの案をツェルメロの1916年の未公刊の仕事とノイマンの1920年代の数編の論文に帰している。は推移的集合でありならばのいずれか1つだけが成り立つ。は推移的集合であり包含関係に関する全順序集合である。は推移的集合でありの要素もまた推移的集合である。ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。

ブラリ＝フォルティの定理ブラリ＝フォルティの定理とは、「全ての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。下記のように背理法で証明できる。全ての順序数からなる集合が存在すると仮定し、これをとおく。任意の順序数の任意の元も順序数であるため、は推移的な集合である。さらに、の任意の非空部分集合には、二項関係に関する最小元が存在するため、はによって整列されている。したがっては順序数であるのでとなるが、これは任意の順序数についてとなるという事実と矛盾する。かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

後続順序数と極限順序数

ある順序数が存在してとなる順序数を後続順序数と呼ぶ。でも後続順序数でもない順序数を極限順序数と呼ぶ。定義より、すべての順序数に対して、

は後続順序数であるは極限順序数であるのいずれか一つだけが成り立つ。は最小の極限順序数である。また、任意の順序数に対して、より大きな極限順序数が存在することが示される。

順序数の演算

順序数の間には、和、積、冪といった演算を定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。

和

とを順序数とする。整列集合とを , , をみたすように取り、上の関係を、

　⇔　またはまたは

によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は , の特定の取り方によらず一定である。そこでをとの和といい、これをで表す。直観的には、というのはの後ろにを並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の和について次が成り立つ：が有限順序数ならば、和は自然数の間の通常の和と一致する。。。。が極限順序数のとき、。。。順序数の和は一般には可換でない。例えば、である。ならばをみたすがただ一つ存在する。

積 , を順序数とする。整列集合 , を , をみたすように取り、上の関係を、

　⇔　または（かつ）

によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は , の特定の取り方によらず一定である。そこでをとの積といい、これをで表す。直観的には、というのはを個並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の積について次が成り立つ：が有限順序数ならば、積は自然数の通常の積に一致する。。。。が極限順序数のとき、。。のとき、。。順序数の積は一般には可換でない。例えば、である。。は一般には成り立たない。任意の順序数とでない順序数に対して、かつをみたす順序数の組がただ一組存在する。

冪 , を順序数とする。整列集合 , を , をみたすように取り、は有限集合上の関係を、

　⇔　かつ、をみたす最大のに対して

によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は , の特定の取り方によらず一定である。そこでをの乗といい、これをで表す。

順序数の冪について次が成り立つ：が有限順序数ならば、冪は自然数の通常の冪に一致する。。のとき、。。。で、が極限順序数のとき、。のとき、。。。。は一般には成り立たない。

集合の濃度と基数

集合から集合への全単射が存在するとき、とは同数であるといい、で表す。選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合に対してと同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合と同数であるような順序数の中で最小のものをの濃度といい、これをあるいはで表す。ある集合に対してである順序数を基数と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：

が有限集合のとき、はの要素の個数に等しい。

基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

主な順序数アッカーマン順序数（Ackermann ordinal）イプシロン数（Epsilon number）許容順序数（Admissible ordinal）最小の非可算順序数（First uncountable ordinal）小ヴェブレン順序数（Small Veblen ordinal）大ヴェブレン順序数（Large Veblen ordinal）竹内・フェファーマン・ブーフホルツ順序数（Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal）チャーチ・クリーネ順序数（Nonrecursive ordinal）バッハマン・ハワード順序数（Bachmann–Howard ordinal）フェファーマン・シュッテの順序数（Feferman–Schütte ordinal）

脚注

参考文献

– 注釈：の英訳。

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