展開型ゲーム（てんかいがたゲーム、）とは、ゲームの表現形式のひとつであり、ゲームの木と呼ばれるグラフの形式で表現されたものである。
ルール を、 を、 を、 を、 をとする。五つ組を用いて、展開型ゲーム は以下で定義される：
このとき はそれぞれ展開型ゲームのルール（）呼ばれる。
ゲームの木 thumb|right|ゲームの木 はゲームの進展を表現する有向木である。ゲーム・ツリーとも。
グラフ理論一般に有向木はノードとエッジからなる。展開型ゲームではノードをとに分類しエッジをと呼ぶことで、有向木によってゲームの進展を表現する。
分岐点 thumb|right|分岐点 はゲームの途中段階を意味する、エッジが出ている有向木のノードである。、、決定節（）とも。
分岐点は有向木の葉以外のノード（＝エッジが出ているノード）に相当する。すなわち、分岐点からは 1 本以上の選択肢が出ている。分岐点 から出る選択肢の集合 の濃度は 以上であることのみに制約される（有限集合でも可算無限集合でも非可算集合でもよい）。分岐点ではただ 1 人のプレイヤーにより からただ 1 つの選択肢すなわち行動が選択され、その先のノードへ遷移する。thumb|right|底点 はゲームの初期段階を意味する、選択肢が入ってこない分岐点である。とも。ゲームプレイは底点よりスタートする。ゲーム進行は通常の分岐点と同じで、底点から出る選択肢のいずれかがプレイヤーによって選択されて次の分岐点へ遷移する。
選択肢 thumb|right|選択肢 はプレイヤーが選択可能な行動を意味する、有向木のエッジである。選択枝、とも。
選択肢は有向木のエッジに相当する。選択肢は分岐点から出て他のノード 1 つへ繋がっている。繋がっているノードは次の分岐点の場合も終節の場合もある。
thumb|right|終節 終節（）はゲームの終了を意味する、エッジが出ていない有向木のノードである。、グラフ理論の「頂点 vertex」とは別概念である。混同を避けるため、本稿では「終節」を採用する。とも。
終節は有向木の葉（＝エッジが出ていないノード）に相当する。すなわち、終節からは選択肢が出ていない。そのため各終節ではそれ以上ゲームが進行せず、ゲームが終了したと解釈される。終節に到達するまでに通る選択肢の数に制約は無い（パスごとに深さが異なってよいし、無限の深さでもよい正確な扱いをするには、ゲームの木を "履歴" に基づいた表現で定義するなど、数学的な工夫が必要になる。）。終節全体の集合 の濃度は 1 以上である。
要素名の揺れ ゲームの木の各要素は研究者によって様々な呼び方をされる（表参照）が、共通の構造を表現している。 +表. 「ゲームの木」の要素名(グラフ理論)葉頂点終節頂点葉以外の点分岐点、点決定節手番分岐点根底点底点、初期点枝選択肢、選択枝、枝選択肢枝
は全体の集合を手番プレイヤーで分割した部分集合の組である。逆引きで、分岐点/非末端履歴にプレイヤーを返す関数がである。
人的なプレイヤーの集合を とする。展開型ゲームの全プレイヤーは に属する 人と自然 人以下で構成される。分岐点ではただひとりのプレイヤーが選択肢を選ぶため、分岐点全体の集合はプレイヤーに基づく 個の部分集合に分割できる集合の分割の定義より、各集合は互いに素かつ空集合でなく、全集合の和集合がもとの集合と一致する。。この部分集合の組 がプレイヤー分割である。このとき、分岐点/手番 を、 をと呼ぶ。
偶然手番の確率分布族 は各に対応する確率分布の集まりである。各偶然手番に各確率分布を返す関数とも定義される。
偶然手番 ではプレイヤーの意思とは無関係な偶然メカニズムによりの集合 から選択肢が 1 つだけ選択される。この確率的な選択は 上の確率分布/確率測度 で表現できる。これが全ての について言えるため（ と は独立）、合計 個の確率分布でこのゲームの偶然手番全体を表現できる。数学的には を添字集合とする偶然手番の確率分布の族 で表現でき、これが「偶然手番の確率分布族」である（※原文ママ）。
情報分割
はを情報集合の集まりへ更に分割したものである。
プレイヤー に属する分岐点の集合 同義として、プレイヤー関数による非末端履歴の部分集合は「プレイヤー の情報集合 」の集まりへ更に分割できる。この分割 を「プレイヤー のもつ情報分割」という。プレイヤー分割 の全てにこれを適用した がゲームの「情報分割」である。つまり情報分割により手番プレイヤーにとって見分けがつく・つかない分岐点が指定され、これは不完全情報の表現を可能にする。
利得関数 は全プレイヤー 人の利得を表現しを 次元実数空間へ写す関数である。
を終節全体の集合、 を実数全体の集合、 をプレイヤー集合、 をプレイヤーとする。関数 が を満たすとき、 は「プレイヤー の利得関数」であり、全ての を束ねた はゲームの「利得関数」である。
利得関数を用いることで、ゲーム終了時に全プレイヤーへそれぞれ利得が発生すると解釈される。利得関数をゲームの木のうえに重ねて表示することは効果的な可視化であり、しばしば終節の上（あるいは下）に数値で表現される。
性質 ある非協力ゲームは展開型ゲームでも標準型ゲームでも表現できるが。
利用 展開型ゲームは様々なタイプのゲームの表現形式として利用できる。以下はその一例である：
完備完全情報ゲーム: 全ての情報集合がただひとつの分岐点を持つ形で表現 不完全情報ゲーム 同時手番ゲーム: 情報分割を用いて先手の選択を隠す形で表現 不完備情報ゲーム: ハーサニ変換を採用すれば不完全情報ゲームの形で表現可能 確定ゲーム: 自然プレイヤー/偶然手番無しで表現 非確定ゲーム: 自然プレイヤー/偶然手番有りで表現
関連するゲーム
完全記憶ゲーム 全プレイヤーが自分の過去の選択肢を全て記憶しているゲームを完全記憶ゲーム(Game with perfect recall)と呼ぶ。完全情報ゲームは完全記憶ゲームである。完全記憶であり不完全情報であるゲームの木の例を図3に示す。また不完全記憶ゲームの木の例を図4に示す。図4のプレイヤーAのように一手前の記憶を喪失するプレイヤーは想像しにくいが、例えばプレイヤーAを2名のチームと考え、手番と手番では別のチーム員が指しチーム員同士は情報交換ができないとすれば、現実的な一例となる。
利 脚注
注釈
出典
参考文献
日本数学会「岩波数学辞典-第3版」岩波書店(1985/12) 佐々木宏夫「入門ゲーム理論―戦略的思考の科学」日本評論社（2003/03） 武藤滋夫「ゲーム理論入門」日本経済新聞社（2001/01）
関連項目 ゲーム理論 後退帰納法 標準型ゲーム 特性関数型ゲーム