ワトソンの五重積

数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。

証明 ヤコビの三重積により

オイラーの五角数定理により

これらを用いて五重積の公式を書き直せば

となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は

さて

であるから

となり、右辺を得る。

関連項目 ジョージ・ネビル・ワトソン (en) ヤコビの三重積 ファルカシュの七重積 ()Yan, Q. (2009). A new proof of the septuple product identity. Discrete Mathematics, 309(8), 2589-2591.Chapman, R. (1999). On a septuple product identity.

出典

参考文献 Bailey, W. N. (1951), "On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1: 217–221, , , MR 0043839 Gordon, Basil (1961), "Some identities in combinatorial analysis", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 12: 285–290, , , MR 0136551 Carlitz, L.; Subbarao, M. V. (1972), "A simple proof of the quintuple product identity", Proceedings of the American Mathematical Society, 32: 42–44, , , , MR 0289316

関連文献 和文 , 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催)

(五重積公式について解説がある)

英文 Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27. Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45. Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.

Chu, W., & Yan, Q. (2007). Unification of the quintuple and septuple product identities. The electronic journal of combinatorics.