補空間

線型代数学におけるベクトル空間の与えられた線型部分空間に対し、別の部分空間がその相補部分空間（そうほぶぶんくうかん、）または補空間（ほくうかん、）あるいは互いに相補的 (complement) であるとは、もとの部分空間と零ベクトルのみで交わる可能な限り大きな部分空間を言う。これにより、もとのベクトル空間全体は二つの互いに線型独立な成分に分解される。

定義体上のベクトル空間とその部分空間が与えられているとき、の部分空間がにおけるの補空間であるとは、ふたつの条件が満たされるときに言う。ここには零ベクトル空間で、和空間はを表す。

性質とがにおいて互いに相補的な部分空間であるとき、はとの内部直和である。の部分空間の外部直和に対し、線型写像が同型となるための必要十分条件は、とがにおいて相補的、すなわちがの内部直和となることである。の任意の部分空間に対し、その補空間が常に存在することは（基底の延長定理）からわかるが、補空間は一般には一意に決まらない。例えばである。がちょうどにおけるの補空間となるのは、任意のベクトルがと一意に書けるときである。がにおいて互いに相補的な部分空間であるとき、その次元についてはが成り立つ。の補空間の次元をのにおけるとも呼ぶ。がにおけるの補空間であるとき、は同じ空間におけるの補空間である。標準射影のの補空間への制限は同型である（商線型空間の項も参照）。

射影のとの関係ベクトル空間の部分空間に対してがの補空間ならば、上記の如くの各元はとなるが一意的にとれる。このとき、は像および核を持つ射影である。逆に、となる射影に対し、核はの補空間である。

これにより、の補空間全体の成す集合と像がであるような上の射影全体の成す集合との間に一対一対応があることがわかる。を像に持つ射影全体の成す空間はベクトル空間上のアフィン空間を成す。

例

ベクトル空間（デカルト平面）の部分空間として（-軸）を考える（図を参照）。任意の実数に対して、は原点を通る傾きの直線とすれば、それら部分空間の各々すべてがにおけるの補空間であり、対応する射影は行列表示すればで与えられる（行列の第一行はすべてだから、この像がとなることを直接確かめることは難しくない）。の核がとなることは、を解けばわかるが、実際だから、核はを満たすの全体、すなわち原点を通る傾きの直線である。

直交補空間

体上のベクトル空間は対称または交代双線型形式もしくはエルミート半双線型系形式を持つものとする。の部分空間に対し、部分空間をのにおける直交補空間と呼ぶ。直交補空間は、一般には上で述べた意味でのの補空間とは限らないことに注意すべきである。双対性定理によれば、が有限次元で形式が上でも上でも非退化ならば、が成り立つ。例えば、実または複素ベクトル空間上の内積はこの性質を常に満足する。

ヒルベルト空間の場合がヒルベルト空間の場合、部分空間の直交補空間は、の閉包の補空間になる。つまり、が成り立つ（はヒルベルト空間の内部直和）。

この場合の直交補空間は必ず閉であり、を満たす。

バナッハ空間における補空間は（有限または無限次元の）完備なノルム空間、すなわちバナッハ空間とし、をその閉部分空間で補空間を持つものとする。するととの代数的な意味での線型同型を通じて、位相的な意味での線型同型（つまり、連続かつ逆写像も連続となるような線型同型）が定まる。

バナッハ空間において、閉部分空間は常に補空間を持つが、それは閉補空間を見つけることができるということを意味しない。それはむしろヒルベルト空間の持つ位相線型空間構造を特徴付ける性質である（とLior Tzafririの定理によるJ. Lindenstrauss, L. Tzafriri: On the complemented subspaces problem, Israel Journal of Mathematics (1971), Band 9 (2), Seiten 263–269）: 定理 (Lindenstrauss–Tzafriri) バナッハ空間が適当なヒルベルト空間に同型となるための必要十分条件は、その任意の閉部分空間が閉補空間を持つことである。

補空間の存在性については、次の Sobczyk の定理R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 10.10 が利用できる: 定理 (Sobczyk) 可分なバナッハ空間の数列空間に同型な部分空間は常に閉補空間を持つ。しかし、可分とは限らない場合にはこの主張は真とは言えない（実際、をの部分空間と見たときには、閉補空間は存在しないR. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 10.15）。

不変補空間ベクトル空間上の自己準同型写像との -不変部分空間（すなわち、となるような部分空間）に対し、は必ずしも -不変な補空間を持つわけではない。自己準同型に対し、任意の -不変部分空間が-不変補空間を持つとき、は半単純であると言う。この半単純性は、代数閉体上で対角化可能ということと同値である。

似た用語が表現論においても用いられる。ユニタリ表現に対して、不変部分空間の直交補空間はふたたび不変部分空間となり、したがって任意の有限次元ユニタリ表現は半単純である。

不変部分空間を部分加群として解釈することにより、不変補空間は次の節で言う意味において相補部分加群と見なせる。

一般化補空間の定義は（体上でなく環で考えれば）そのまま加群に対しても一般化することができるが、環上の加群の部分加群に対しては常に相補部分加群（補加群）が存在するとはもはや言えなくなる。任意の部分加群が相補部分加群を持つような加群は半単純加群と呼ばれる。この用語を用いれば、例えば任意のベクトル空間は半単純加群であるということができる。例えば整数の加法群を整数環上の加群と見ると半単純ではない（実際、部分加群は補加群を持たない）。

「補加群を持つ」と言う代わりに「直和因子である」と言うこともできる。射影加群は適当な自由加群の直和因子（に同型）となるような加群として特徴づけられる。同様に入射加群は任意の拡大加群において補加群を持つことで特徴づけられる。

上記の射影との関係だけでなくのにおける補空間全体の成す集合上へのの単純推移的な作用も、加群（あるいはもっと一般のアーベル圏）の場合に対するものへ引き写すことができる。

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