In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.
Equazioni differenziali ordinarie Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:
con . Se si possono riordinare i termini:
in modo che le variabili e siano separate ognuna in uno dei due membri.
Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è , la crescita esponenziale.
Esempio
La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:
dove è la popolazione in funzione del tempo , è il suo tasso di crescita e è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:
Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:
e quindi la si decompone in fratti semplici:
Si ha quindi:
Uguagliando gli integrandi:
da cui:
per le proprietà dei logaritmi:
Si ha:
e quindi:
Sia . Allora:
che si può riscrivere:
da cui si ricava:
Quindi la soluzione all'equazione logistica è:
Per trovare , sia e . Si ha:
Notando che , risolvendo per si ha:
Equazioni alle derivate parziali Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.
Caso omogeneo Data l'equazione della diffusione in una dimensione:
con condizione al contorno:
si cerca di trovare una soluzione non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da e è separata, ovvero:
Sostituendo nell'equazione e usando la regola del prodotto:
Dato che il membro alla destra dipende solo da e quello alla sinistra solo da , entrambi sono uguali ad una qualche costante :
dove è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con e le rispettive autofunzioni.
Per mostrare che non vi sono soluzioni per , si osserva inizialmente che per esistono due numeri reali e tali che:
Utilizzando le condizioni al contorno si ha che , da cui si ha , che implica che è nulla. Supponendo , del resto, in tal caso esistono due numeri reali e tali che:
Dal fatto che si conclude in modo analogo che è nulla. Quindi, deve essere , ed esistono , e tali che:
Sfruttando nuovamente , si ha e che per qualche intero positivo si verifica:
Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di ha la forma . In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:
dove sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.
Se la condizione iniziale è:
si ottiene:
che è l'espansione in serie di seni di . Moltiplicando ambo i membri per e integrando nell'intervallo si ha:
Questo metodo richiede che le autofunzioni di , che in tal caso sono:
siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.
Caso non omogeneo Si consideri l'equazione non omogenea:
con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni , e possono essere espanse in serie di seni:
dove e possono essere calcolati per integrazione, mentre deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di e nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:
che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:
Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane. Ad esempio, in queste ultime una variazione infinitesima di una coordinata (come ) corrisponde esattamente a una distanza geometrica. Al contrario, nelle coordinate curvilinee la variazione non rappresenta necessariamente una lunghezza, come accade quando la coordinata è un angolo (ad esempio nelle coordinate sferiche o cilindriche).
Software Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
Note
Bibliografia
Voci correlate Equazione differenziale alle derivate parziali Equazione differenziale ordinaria Equazione logistica Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie
Collegamenti esterni
Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations Examples of separating variables to solve PDEs
Categoria:Equazioni differenziali