La formula di Laguerre (prende il nome da Edmond Laguerre) esprime l'angolo acuto tra due rette reali proprie.
Significato dei simboli:
è il logaritmo principale è il birapporto di quattro punti allineati e sono i punti all'infinito delle due rette e sono le intersezioni del cerchio assoluto, di equazioni , con la retta congiungente e .
L'espressione dentro le barre di modulo è un numero reale.
La formula di Laguerre trova applicazione in computer vision, visto che il cerchio assoluto ha un'immagine sul piano retinale che è invariante per movimenti della camera, e il birapporto di quattro punti allineati è uguale al birapporto delle loro immagini sul piano retinale.
Dimostrazione È lecito supporre che le due rette siano per l'origine. Siccome il cerchio assoluto è invariante per isometrie, si può anche supporre che la prima retta sia l'asse x e che la seconda retta giaccia nel piano z=0. Le coordinate omogenee dei quattro punti nella formula sono rispettivamente
Le loro coordinate non omogenee sulla retta impropria del piano z=0 sono , , 0, . (L'eventuale scambio di e trasforma il birapporto nel suo reciproco, quindi la formula per dà il medesimo risultato.) Dalla formula del birapporto si ottiene
Bibliografia O. Faugeras. Three-dimensional computer vision. MIT Press, Cambridge, London, 1999.
Categoria:Formule matematiche