Il problema dello zaino, o , è un problema di ottimizzazione combinatoria posto nel modo seguente.
Sia dato uno zaino che possa sopportare un determinato peso e siano dati oggetti, ognuno dei quali caratterizzato da un peso e un valore. Il problema si propone di scegliere quali di questi oggetti mettere nello zaino per ottenere il maggiore valore senza eccedere il peso sostenibile dallo zaino stesso.
Il problema rappresenta un classico esempio di programmazione dinamica e illustra perfettamente il concetto di sottostruttura ottimale, dove la soluzione ottimale del problema può essere costruita combinando soluzioni ottime dei sottoproblemi.
Introduzione
Il problema espresso in maniera più formale diventa:
ognuno degli oggetti possiede un peso e un valore ; si indica con il peso massimo sopportabile dallo zaino; la possibilità che un oggetto venga inserito o meno nello zaino è espressa dalle variabili intere .
La funzione obiettivo da massimizzare è:
I vincoli:
In base al tipo di variabili si ha poi la distinzione in:
problema dello zaino 0-1
ogni oggetto può esserci o non esserci senza ripetizioni (abbiamo un solo esemplare di ciascun oggetto);
problema dello zaino con limiti
ogni oggetto può apparire nello zaino al massimo volte (abbiamo esemplari dell'oggetto 1, esemplari dell'oggetto 2 e così via);
problema dello zaino senza limiti
ogni oggetto può apparire nello zaino un numero arbitrario di volte.
Complessità computazionale
Il problema dello zaino è risolto spesso usando la programmazione dinamica, anche se è noto che questo metodo ha un tempo di risoluzione non lineare per questo genere di problema. Il problema generale dello zaino è un problema NP-difficile e questo ha indirizzato la ricerca verso il problema Subset-sum come base per il sistema di crittografia a chiave pubblica, come Merkle-Hellman. Questi tentativi usavano tipicamente alcuni gruppi oltre agli interi. Merkle-Hellman e altri algoritmi simili vennero presto abbandonati poiché i sottoproblemi di somma che producevano erano risolvibili da algoritmi lineari.
La versione decisionale di questo problema è NP-completa e infatti è uno dei 21 problemi NP-completi di Karp.
Il problema dello zaino, nella versione di ottimizzazione, è di fondamentale importanza in quanto può essere risolto in maniera soddisfacente in molti casi di comune applicazione; infatti per questo problema sono disponibili buone euristiche e buoni rilassamenti. Un algoritmo di enumerazione implicita, ad esempio Branch and bound, normalmente non impiega molto tempo per risolverlo.
Analisi della complessità
Variante Complessità temporale Complessità spaziale Note Zaino 0-1 (DP) O(nW) O(nW) o O(W) Pseudo-polinomiale Zaino senza limiti (DP) O(nW) O(W) Pseudo-polinomiale Zaino frazionario (Greedy) O(n log n) O(1) Polinomiale Branch and Bound O(2ⁿ) O(n) Esponenziale (caso peggiore)
La complessità O(nW) è pseudo-polinomiale perché dipende dal valore numerico W, non dalla sua lunghezza in bit (log W).
Soluzione problema dello zaino senza limiti
Viene descritta di seguito la soluzione per il problema dello zaino senza limiti.
Si indichino con i guadagni offerti dagli oggetti, e con i pesi di ogni oggetto. Si desidera massimizzare il guadagno complessivo mantenendo il peso complessivo minore o uguale al peso massimo consentito (vincolo). Si indichi con il valore massimo di guadagno che si può ottenere rispettando il vincolo che il peso complessivo sia minore o uguale a . Ovviamente e è la soluzione del problema.
Si definiscono gli ricorsivamente come di seguito:
avendo considerato zero il massimo dell'insieme vuoto. Se si tabulano i risultati a partire da fino a si ottiene la soluzione. Dato che il calcolo di ogni implica l'esame di oggetti, tutti calcolati in precedenza, e visto che ci sono valori di da calcolare, il tempo impiegato per trovare la soluzione è .
Ciò non contraddice il fatto che il problema dello zaino sia NP-completo, dato che , al contrario di , non è polinomiale rispetto alla lunghezza dell'input del problema. Questa lunghezza è proporzionale al numero di bit in , e non a stesso.
Implementazione zaino senza limiti
KNAPSACK_UNLIMITED(pesi, valori, n, W): // Inizializzazione dp = 0 for w = 1 to W: dp[w] = 0
// Riempimento tabella DP for w = 1 to W: for i = 1 to n: if pesi[i] <= w: dp[w] = max(dp[w], dp[w - pesi[i]] + valori[i])
return dp[W]
Soluzione problema dello zaino 0-1
Si indichino con il peso dell'i-esimo oggetto e con il suo valore. Si vuole massimizzare il valore totale rispettando il vincolo che il peso totale sia minore o uguale al peso massimo consentito . Definiamo come il massimo valore che può essere trasportato con uno zaino di capacità avendo a disposizione solo i primi oggetti.
Si può definire ricorsivamente come segue:
se se
Si può trovare la soluzione calcolando . Per farlo in modo efficiente si può usare una tabella che memorizzi i calcoli fatti precedentemente. Questa soluzione impiegherà quindi un tempo proporzionale a e uno spazio anch'esso proporzionale a , anche se con alcune piccole modifiche si può ridurre lo spazio utilizzato a .
Implementazione dettagliata zaino 0-1
Versione con tabella completa
KNAPSACK_01_FULL(pesi, valori, n, W): // Creazione tabella DP dp = array[n+1][W+1]
// Inizializzazione casi base for i = 0 to n: dp[i] = 0 for w = 0 to W: dp[w] = 0
// Riempimento tabella for i = 1 to n: for w = 1 to W: if pesi[i] <= w: dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w-pesi[i]] + valori[i]) else: dp[i][w] = dp[i-1][w]
return dp[n][W]
Versione ottimizzata per spazio
KNAPSACK_01_OPTIMIZED(pesi, valori, n, W): // Array monodimensionale dp = array[W+1]
// Inizializzazione for w = 0 to W: dp[w] = 0
// Processa ogni oggetto for i = 1 to n: // Scorri da destra a sinistra per evitare conflitti for w = W down to pesi[i]: dp[w] = max(dp[w], dp[w - pesi[i]] + valori[i])
return dp[W]
Ricostruzione della soluzione
Per ricostruire quali oggetti fanno parte della soluzione ottimale:
RECONSTRUCT_SOLUTION(dp, pesi, valori, n, W): soluzione = [] i = n w = W
while i > 0 and w > 0: // Se il valore deriva dall'inclusione dell'oggetto i if dp[i][w] != dp[i-1][w]: soluzione.append(i) w = w - pesi[i] i = i - 1
return reverse(soluzione)
Esempio passo-passo
Consideriamo 3 oggetti con zaino di capacità 5: Oggetto 1: peso=2, valore=1 Oggetto 2: peso=3, valore=4 Oggetto 3: peso=4, valore=7
Tabella DP:
i\w 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 4 4 5 3 0 0 1 4 7 7
Soluzione ottimale: Valore = 7 (solo oggetto 3)
Algoritmo Greedy
Martello e Toth (1990) hanno utilizzato un'euristica greedy per risolvere il problema dello zaino. La loro versione ordina gli oggetti in base al loro costo unitario, vale a dire e li esamina in ordine decrescente. L'oggetto corrente viene inserito se e solo se il suo peso non supera la capacità residua corrente.
Implementazione algoritmo greedy
KNAPSACK_GREEDY(pesi, valori, n, W): // Calcola rapporto valore/peso rapporti = [] for i = 1 to n: rapporti[i] = valori[i] / pesi[i]
// Ordina per rapporto decrescente oggetti_ordinati = sort_by_ratio_desc(rapporti)
// Algoritmo greedy peso_corrente = 0 valore_totale = 0 soluzione = []
for oggetto in oggetti_ordinati: if peso_corrente + pesi[oggetto] <= W: soluzione.append(oggetto) peso_corrente += pesi[oggetto] valore_totale += valori[oggetto]
return valore_totale, soluzione
Questi algoritmi sono euristici, quindi non garantiscono di trovare la soluzione ottima, ma sono in grado di fornire una "buona" soluzione in tempo ragionevole; spesso questo tipo di algoritmi viene utilizzato in approcci di enumerazione implicita come gli algoritmi Branch and bound.
Analisi del rapporto di approssimazione
Per il problema dello zaino 0-1, l'algoritmo greedy non garantisce alcun rapporto di approssimazione costante. Tuttavia, per il problema dello zaino frazionario (dove si possono prendere frazioni di oggetti), l'algoritmo greedy è ottimale.
Rilassamento continuo
Si dimostra che il rilassamento continuo del problema dello zaino è equivalente all'euristica CUD quando si permettono valori in delle variabili , in particolare una sola variabile avrà valore non binario. In questo modo euristica e rilassamento possono essere risolti simultaneamente in maniera efficiente.
Soluzione del rilassamento
KNAPSACK_FRACTIONAL(pesi, valori, n, W): // Ordina per rapporto valore/peso decrescente oggetti = sort_by_value_weight_ratio_desc(pesi, valori)
peso_corrente = 0 valore_totale = 0 soluzione = array[n] // frazione di ogni oggetto
for i = 1 to n: if peso_corrente + pesi[oggetti[i]] <= W: // Prendi tutto l'oggetto soluzione[oggetti[i]] = 1 peso_corrente += pesi[oggetti[i]] valore_totale += valori[oggetti[i]] else: // Prendi frazione dell'oggetto frazione = (W - peso_corrente) / pesi[oggetti[i]] soluzione[oggetti[i]] = frazione valore_totale += frazione * valori[oggetti[i]] break
return valore_totale, soluzione
Algoritmi di approssimazione
Algoritmo 2-approssimato
Un semplice algoritmo 2-approssimato per il problema dello zaino 0-1:
KNAPSACK_2_APPROX(pesi, valori, n, W): // Soluzione 1: algoritmo greedy valore_greedy, sol_greedy = KNAPSACK_GREEDY(pesi, valori, n, W)
// Soluzione 2: oggetto di valore massimo valore_max = 0 oggetto_max = 0 for i = 1 to n: if pesi[i] <= W and valori[i] > valore_max: valore_max = valori[i] oggetto_max = i
// Restituisci la migliore delle due if valore_greedy >= valore_max: return valore_greedy, sol_greedy else: return valore_max, [oggetto_max]
FPTAS (Fully Polynomial-Time Approximation Scheme)
Esiste un FPTAS per il problema dello zaino che garantisce una soluzione (1+ε)-approssimata in tempo O(n³/ε):
KNAPSACK_FPTAS(pesi, valori, n, W, epsilon): // Scala i valori per ridurre la complessità V_max = max(valori) K = epsilon * V_max / n
valori_scalati = [] for i = 1 to n: valori_scalati[i] = floor(valori[i] / K)
// Risolvi con DP sui valori scalati return KNAPSACK_BY_VALUE(pesi, valori_scalati, n, W, K)
Varianti avanzate
Problema dello zaino multidimensionale
Estensione con più vincoli di peso:
// Zaino con m dimensioni (es: peso, volume, costo) MULTIDIMENSIONAL_KNAPSACK(pesi, valori, n, capacita, m): // DP con m+1 dimensioni dp = array[n+1][capacita+1]...[capacita[m]+1]
// Inizializzazione // ... (tutti gli elementi a 0)
for i = 1 to n: for c1 = capacita down to pesi[i]: for c2 = capacita down to pesi[i]: // ... per tutte le m dimensioni for cm = capacita[m] down to pesi[i][m]: dp[c1][c2]...[cm] = max( dp[c1][c2]...[cm], dp[c1-pesi[i]][c2-pesi[i]]...[cm-pesi[i][m]] + valori[i] )
return dp[capacita][capacita]...[capacita[m]]
Problema dello zaino con conflitti
Alcuni oggetti non possono essere selezionati insieme:
KNAPSACK_WITH_CONFLICTS(pesi, valori, n, W, conflitti): // Usa branch and bound o programmazione intera // conflitti[i][j] = true se oggetti i e j sono in conflitto
function is_valid(soluzione): for i in soluzione: for j in soluzione: if i != j and conflitti[i][j]: return false return true
// Algoritmo di backtracking return BACKTRACK_KNAPSACK(pesi, valori, W, conflitti, [], 0)
Applicazioni pratiche
Allocazione risorse Budget allocation: Distribuzione ottimale di fondi tra progetti Portfolio optimization: Selezione di investimenti con budget limitato Resource scheduling: Assegnazione di risorse computazionali
Informatica Memory management: Ottimizzazione dell'uso della memoria cache Bandwidth allocation: Distribuzione della banda di rete Load balancing: Distribuzione del carico sui server
Logistica Cargo loading: Caricamento ottimale di container e aerei Cutting stock: Minimizzazione dello spreco in taglio di materiali Bin packing: Ottimizzazione dello spazio in magazzini
Crittografia