In algebra lineare, il teorema di Weyl, anche detto disuguaglianza di Weyl o teorema di monotonicità di Weyl, caratterizza gli autovalori della matrice somma di due matrici hermitiane.

Enunciato Siano e due matrici hermitiane con autovalori e rispettivamente. Siano gli autovalori della matrice , si ha:

per .

Dimostrazione Si considerino le seguenti diagonalizzazioni:

dove , e sono unitarie. Dette , e le colonne di , e , si considerino gli spazi:

con fissati. Applicando la formula delle dimensioni si ottiene:

Allora esiste un vettore di norma euclidea:

perciò:

con . Inoltre dato che è unitaria e che :

usando la diagonalizzazione unitaria di . Con lo stesso ragionamento:

,

Da queste ultime tre disuguaglianze si ricava la prima disuguaglianza del teorema:

Per la seconda disuguaglianza del teorema si procede in modo analogo.

Bibliografia Matrix Theory, Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6

Voci correlate Autovettore e autovalore Matrice hermitiana

Collegamenti esterni

Categoria:Matrici quadrate