In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.
La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.
Enunciato Sia una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico . Siano inoltre e due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità , sia una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e la misura push-forward .
Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità tale che: la mappatura è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme misurabile rispetto alla relativa misura di Borel; assume valori non nulli sulla fibra , ovvero per quasi tutti (rispetto a ) gli si ha:
e dunque:
per ogni funzione Borel-misurabile si ha:
In particolare, per ogni evento , assumendo che sia la funzione indicatrice di si ha:
Bibliografia
Voci correlate Insieme nullo (teoria della misura) Misura (matematica) Misura di Radon Misura prodotto Misura push-forward
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria della misura Disintegrazione