Teoria dei campi scalare

In fisica teorica, con teoria dei campi scalare si fa riferimento a una teoria, classica o quantistica e relativisticamente invariante, dei campi scalari. Un campo scalare è invariante sotto ogni trasformazione di Lorentz.i.e., it transforms under the trivial (0, 0)-representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a vector or tensor field, or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such bosonic by the spin statistics theorem. si veda

L'unico campo quantistico scalare fondamentale ad essere stato osservato è il campo di Higgs. Tuttavia, campi scalari quantistici sono presenti nelle teorie efficaci di molti fenomeni fisici. Un esempio è il pione, che è in realtà uno pseudoscalare.This means it is not invariant under parity transformations which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See Poiché i campi scalari non sono polarizzati, la loro quantizzazione canonica risulta più semplice; per questa ragione, le teorie di campo scalari sono spesso usate al fine di introdurre nuovi concetti e tecniche. Ch 3.

La segnatura della metrica impiegata in questa voce è (+, −, −, −).

Teoria dei campi scalare classica Un libro di riferimento per questa sezione è il capitolo 1 di

Teoria lineare (libera) La teoria di campo scalare più basilare è la teoria lineare. Tramite la scomposizione di Fourier dei campi, rappresenta i modi normali di infiniti oscillatori accoppiati dove il limite nel continuo dell'indice degli oscillatori i è ora indicato da x. L'azione per la teoria di campo scalare relativistica libera è quindi

dove è detta la densità lagrangiana; per le tre coordinate spaziali; è la delta di Kronecker; e ossia la derivata rispetto alla ρ-esima coordinata spaziotemporale.

Questo è un esempio di un'azione quadratica, siccome ciascuno dei termini nel campo φ. Il termine è proporzionale a m^2 è talvolta conosciuto come termine di massa, a causa della successiva interpretazione, nella versione quantizzata di questa teoria, in termini della massa della particella.

L'equazione del moto per questa teoria si ottiene estremizzando l'azione di cui sopra. Assume la forma seguente, lineare in φ,

dove ∇2 è l'operatore di Laplace. Questa è l'equazione di Klein-Gordon, interpretata come equazione di campo classica, piuttosto che come equazione d'onda quantistica.

Teoria non lineare (interagente) La più comune generalizzazione della teoria lineare di cui sopra è aggiungere un potenziale scalare V(Φ) alla lagrangiana, dove tipicamente, in aggiunta a un termine di massa, V è un polinomio in Φ. Una tale teoria è talvolta detta interagente, perché l'equazione di Eulero-Lagrange è ora non lineare, implicando una auto-interazione. L'azione per la teoria più generale è

Gli n! fattori nello sviluppo vengono introdotti perché sono utili nello sviluppo del diagramma di Feynman della teoria quantistica, come descritto sotto.

L'equazione di Eulero-Lagrange corrispondente è ora

Analisi dimensionale e scale Le grandezze fisiche in queste teorie scalari potrebbero avere dimensioni di lunghezza, tempo o massa, o una combinazione delle tre.

Tuttavia, in una teoria relativistica, una certa quantità t, con le dimensioni di un tempo, può essere facilmente convertita in una lunghezza, l =ct, usando la velocità della luce, c. Similmente, ogni lunghezza è equivalente all'inverso della massa, usando la costante di Planck ħ=lmc. In unità naturali, il tempo e la lunghezza vengono trattate dal punto di vista dimensionale come l'inverso della massa.

In breve, si può pensare alle dimensioni di una qualsiasi grandezza fisica come definite in termini di una sola unità di misura indipendente, piuttosto che tutte e tre. Questa è spesso chiamata la dimensione di massa della grandezza. Conoscere le dimensioni di ciascuna quantità permette di recuperare in modo univoco le dimensioni convenzionali da un'espressione scritta in unità naturali in termini della sola dimensione di massa; questo si fa semplicemente reinserendo le potenze di ħ e c tali a mantenere la coerenza dimensionale.

Un'obiezione sensata è che la teoria è classica, e quindi non è ovvio come la costante di Planck possa entrare in gioco. Se lo si desidera, si può in realtà scrivere la teoria senza far riferimento alle dimensioni di massa. Tuttavia, questo renderà più oscura la connessione con la teoria scalare quantistica. Dato che si hanno le dimensioni di massa, la costante di Planck può essere vista essenzialmente come una quantità di azione di riferimento arbitraria e fissata (non necessariamente collegata alla quantizzazione), quindi con le dimensioni appropriate per convertire la massa e l'inverso della lunghezza.

Dimensione di scala La dimensione di scala classica, o dimensione di massa, Δ, di φ descrive la trasformazione del campo sotto un ri-scaling delle coordinate:

Le unità dell'azione sono le stesse delle unità di ħ, e quindi l'azione stessa ha dimensione di massa zero. Questo aggiusta la dimensione di scala del campo φ per essere

Invarianza di scala C'è un senso specifico in cui alcune teorie di campo scalari sono invarianti di scala. Mentre le azioni sopra sono costruire per avere dimensione di massa zero, non tutte le azioni sono invarianti sotto la trasformazione di scala

Il motivo per cui non tutte le azioni sono invarianti è che si pensa ai parametri m e gn come quantità fissate, che non sono riscalate sotto la trasformazione di cui sopra. La condizione per cui una teoria di campo scalare sia invariante di scala è quindi abbastanza ovvio: tutti i parametri che appaiono nell'azione devono essere grandezze adimensionate. In altre parole, una teoria invariante di scala è senza una scala di lunghezza fissata (o equivalentemente, scala di massa) nella teoria.

Per una teoria di campo scalare con D dimensioni spaziotemporali, l'unico parametro adimensionato gn soddisfa n = 2D / (D − 2). Per esempio, in D = 4, solo g4 è classicamente adimensionata, e quindi l'unica teoria di campo scalare classicamente invariante di scala in D = 4 è la teoria φ<sup id="mwjQ">4</sup> priva di massa.

L'invarianza di scala classica, tuttavia, normalmente non implica l'invarianza di scala quantistica, a causa del gruppo di rinormalizzazione – vedere la discussione della funzione beta sotto.

Invarianza conforme Una trasformazione

è detta conforme se la trasformazione soddisfa

per una certa funzione λ(x).

Il gruppo conforme contiene come sottogruppi le isometrie della metrica (il gruppo di Poincaré) e anche le trasformazioni di scala (o dilatazioni) considerate di cui sopra. Di fatto le teorie invarianti di scala nella sezione precedenti sono anche conformemente invarianti.

Teoria φ4 La teoria φ4 massiva illustra una serie di fenomeni interessanti in teoria di campo scalare.

La densità lagrangiana è

Rottura spontanea di simmetria Questa lagrangiana ha una simmetria sotto la trasformazione . Questo è un esempio di simmetria interna, in confronto a una simmetria spaziotemporale.

Se m2 è positiva, il potenziale

ha un solo minimo, nell'origine. La soluzione φ = 0 è chiaramente invariante sotto la simmetria .

Al contrario, se m2 è negativa, allora si può vedere facilmente che il potenziale

ha due minimi. Questo è conosciuto con il nome di potenziale a due buche, e gli stati di energia minimi (conosciuti come vuoti, nel gergo della teoria quantistica dei campi) in una tale teoria non sono invarianti rispetto alla simmetria dell'azione (di fatto mappa un vuoto nell'altro). In questo caso, la simmetria si dice che sia rotta spontaneamente.

Soluzioni kink La teoria φ4 con m2 negativa ha anche una soluzione kink, che è un classico esempio di un solitone. Una soluzione di questo tipo è della forma

dove x è una delle variabili spaziali (φ è preso indipendente da t e dalle rimanenti variabili spaziali). La soluzione interpola tra i due diversi vuoti del potenziale a due buche. Non è possibile deformare il kink in una soluzione costante senza passare attraverso una soluzione di energia infinita, e per questa ragione il kink è detto stabile. Per D > 2 (cioè per teorie con più di una dimensione spaziale), questa soluzione è detta muro di dominio.

Un altro noto esempio di teoria di campo scalare con soluzioni kink è la teoria di sine-Gordon

Teoria dei campi scalare complessa In una teoria di campo scalare complessa, il campo scalare assume valori nei numeri complessi, invece che nei reali. L'azione normalmente considerata assume la seguente forma

Questa ha una simmetria U(1), o equivalentemente O(2), il cui effetto sui campi è , per un qualche angolo di fase reale α.

Come per il campo scalare reale, se m2 è negativa si ha la rottura spontanea di simmetria. Questo dà origine al potenziale a sombrero di Goldstone, che è un potenziale a due buche di un campo scalare reale ruotato di 2π radianti attorno all'asse . La rottura di simmetria ha luogo in una dimensione superiore, il che significa che la scelta del vuoto una simmetria continua U(1) invece di una discreta. Le due componenti del campo scalare sono riconfigurate come un modo massivo e un bosone di Goldstone massivo.

Teoria O(N) Si può esprimere la teoria del campo scalare complesso in termini di due campi reali, e , che trasformano rispetto alla rappresentazione vettoriale della simmetria interna U(1), ovvero O(2). Sebbene questi campi trasformino come vettori sotto la simmetria interna, sono comunque scalari di Lorentz.

Questo può essere generalizzato a una teoria con N campi scalari che trasformano secondo la rappresentazione vettoriale della simmetria O(N). La lagrangiana per una teoria di campo scalare O(N)-invariante è tipicamente della forma

usando un appropriato prodotto interno O(N)-invariante. La teoria può anche essere espressa per i campi vettoriali complessi cioè per i , nel qual caso il gruppo di simmetria è il gruppo di Lie SU(N).

Accoppiamenti a campi di gauge Quando la teoria dei campi scalare viene accoppiata in modo gauge-invariante all'azione di Yang-Mills, si ottiene la teoria di Ginzburg-Landau per i superconduttori. I solitoni topologici di quella teoria corrispondono a vortici in un superconduttore; il minimo del potenziale a sombrero corrisponde al parametro d'ordine del superconduttore.

Teoria dei campi scalare quantistica Un libro di riferimento per questa sezione è il capitolo 4 di

In teoria quantistica dei campi, i campi, e tutte le osservabili costruiti da questi, sono sostituiti da operatori quantistici su uno spazio di Hilbert. Questo spazio di Hilbert è costruito su uno stato di vuoto, e la dinamica è governata da un hamiltoniano, un operatore definito positivo che distrugge il vuoto. Essenzialmente, gli infiniti oscillatori classici "impacchettati" nel campo scalare nei suoi modi normali (disaccoppiati), sopra, sono ora quantizzati nel modo standard, così il campo quantistico descrive infiniti oscillatori armonici quantistici agenti sul rispettivo spazio di Fock.

In breve, le variabili basilari sono il campo quantistico φ e il suo momento coniugato π. Entrambi questi campi a valori operatoriali sono hermitiani. Ai punti spaziali e a tempi uguali, le loro relazioni di commutazione canoniche sono date da

mentre l'hamiltoniana libera è, analogamente a sopra,

Una trasformata di Fourier spaziale porta ai campi nello spazio dei momenti

da cui vengono gli operatori di creazione e distruzione

dove .

Questi operatori soddisfano le relazioni di commutazione

Lo stato distrutto da tutti gli operatori a viene identificato come il vuoto, e una particella con momento si crea applicando al vuoto.