In matematica, il teorema di continuità di Kolmogorov è un risultato che garantisce che un processo stocastico che soddisfa alcune restrizioni sulla propria crescita è continuo (o, più precisamente, ammette una versione continua). Prende il nome dal matematico russo Andrej Kolmogorov.
Enunciato Sia un processo stocastico, e supponiamo che esistano tre numeri , e tali che
per ogni .
Allora esiste una versione continua di , ovvero esiste un processo continuo, tale che quasi certamente per ogni . Inoltre, l'applicazione è holderiana di esponente per ogni .
Enunciato generale Il teorema può essere generalizzato al caso in cui il processo non sia indicizzato solo su .
Sia un aperto, e sia una famiglia di variabili aleatorie d-dimensionali su . Supponiamo che esistano tre numeri , e tali che
per ogni .
Allora esiste una versione continua di , ovvero esiste una famiglia tale che quasi certamente per ogni e tale che l'applicazione è continua. Inoltre, è anche holderiana di esponente per ogni ..
Esempi Il teorema di continuità di Kolmogorov può essere usato per dimostrare che il moto browniano standard in ha una versione continua: basta scegliere , e
Note
Bibliografia
Categoria:Processi stocastici