In matematica, in particolare nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema di esistenza di Peano (detto anche teorema di Peano, o teorema di Cauchy-Peano, secondo una denominazione che fa riferimento a Giuseppe Peano e Augustin-Louis Cauchy) è un importante enunciato che garantisce l'esistenza di soluzioni per un dato problema ai valori iniziali.
Il teorema Sia un sottoinsieme aperto di , sia una funzione continua e si consideri un'equazione differenziale ordinaria esplicita del prim'ordine definita su :
Allora ogni problema ai valori iniziali per :
con , possiede una soluzione locale , dove è un intorno di in , tale che:
per tutti gli .
La soluzione può non essere unica, in quanto lo stesso valore iniziale può dare origine a diverse soluzioni .
Altri risultati Un risultato correlato con il teorema di Peano è il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, che assume che sia una funzione lipschitziana rispetto al secondo argomento e giunge a concludere per l'esistenza e l'unicità di una soluzione (mentre l'enunciato di Peano mostra soltanto l'esistenza). Ad esempio, si consideri l'equazione:
nel dominio . Per il teorema di Peano questa equazione ha soluzioni, ma non si può applicare il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy in quanto il membro di destra non è lipschitziano in un intorno dell'origine: la soluzione non è unica.
Una generalizzazione significativa si ottiene con il teorema di esistenza di Carathéodory, che richiede condizioni più deboli per . Tali condizioni sono però soltanto sufficienti.Esistono altri risultati, come quello di Okamura, che forniscono condizioni necessarie e sufficienti affinché il problema ai valori iniziali abbia soluzione unica. Si veda , page 159.
Note
Bibliografia Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, Paragrafo 50. G. Peano, Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445. G. Peano, Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228. W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Original Edition published by New York University Press, 1954
Voci correlate Equazione differenziale ordinaria Funzione continua Funzione lipschitziana Problema di Cauchy Teorema di esistenza di Carathéodory Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy Lemma di Gronwall
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Categoria:Equazioni differenziali ordinarie Esistenza di Peano