La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagneticaNino Zanghi, Appunti di meccanica statistica, Dipartimento di Fisica dell'Università di Genova, Esempio 2.2 (Relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica), e $14 - forze generalizzate e equazioni di stato che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin nel Sistema internazionale), o in una forma equivalente più teorica alla temperatura fondamentale (espressa in joule nel Sistema internazionale):
dove: è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione, la temperatura assoluta o, in modo equivalente, la temperatura fondamentale è la costante di Stefan-Boltzmann.
La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.
Fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali. Esprimendo la temperatura come assoluta in kelvin, la costante vale:
.
Misurando invece in modo più teoricamente sintetico la temperatura in joule come l'energia interna (temperatura fondamentale), il valore della costante di Stefan ridotta (detta più tecnicamente costante di radiazione) diventa invece, semplicemente:
e corrisponde al valore numerico adimensionale che regola l'energia del vuoto termico riempito di fotoni.
Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo "derivazione quantistica".
Derivazione termodinamica La legge può essere dedotta a partire dal primo principio della termodinamica e dalla relazione della pressione di radiazione, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann.
Dal primo principio della termodinamica nella forma:
derivando rispetto al volume, a temperatura costante:
ovvero, introducendo le grandezze specifiche:
per le relazioni di Maxwell l'entropia specifica a temperatura costante:
Introducendo poi la relazione lineare della pressione di radiazione:
si ottiene un'equazione differenziale ordinaria non lineare omogenea per l'energia interna specifica nella temperatura:
che corrisponde all'equazione di Clairaut omogenea:
Integrando l'equazione differenziale si ottiene:
essendo una costante d'integrazione, che può essere ricavata sperimentalmente o dedotta da altre considerazioni teoriche di natura quantistica.
Quindi il calore specifico della radiazione è:
ovvero per la radiazione vale la equazione di Clairaut per il calore specifico:
Relazione fondamentale La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:
può essere invertita rispetto all'entropia:
La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.
Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:
In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate): l'equazione di Gibbs è:
dove le forze generalizzate sono:
mentre le relazioni sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:
La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, èNino Zanghi, Appunti di meccanica statistica, Dipartimento di Fisica dell'Università di Genova, Esempio 2.2 (Relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica):
dove la costante è solo quella di Stefan-Boltzmann σ
Per esso:
ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:
Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann, esprimibile anche (secondo membro) come equazione di Clairaut:
dove infatti il calore specifico della radiazione per definizione è la derivata prima dell'energia interna rispetto alla temperatura:
mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:
Quindi le due equazioni di stato della radiazione sono:
per esempio invece le equazioni di stato dei gas perfetti sono notevolmente diverse, anche se sempre dello stesso tipo:
Derivazione quantistica Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:
dove: è l'energia di un quanto della radiazione elettromagnetica; è la temperatura fondamentale, è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra e .
Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione dell'energia dei singoli quanti non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:
dove oltre alle grandezze precedentemente definite compaiono delle costanti fisiche e matematiche: è la costante di Planck ridotta è la velocità della luce nel vuoto è il numero di Eulero
viene integrata su tutto il dominio energetico dei pacchetti di radiazione:
si ottiene che la costante della densità di energia radiativa (correlata alla costante di Stefan, potremmo chiamarla "costante di Stefan ridotta" in analogia alla costante di Planck ridotta) definita classicamente si può riesprimere come:
mentre, in unità naturali, tale costante di Stefan ridotta (costante di radiazione) è pari semplicemente a:
e corrisponde al valore numerico adimensionale che regola l'energia del vuoto termico riempito di fotoni. La costante di Stefan (originaria, grezza) corrisponde a:
Corpo radiante reale Il corpo nero è un'idealizzazione, intendendosi in fisica un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente, non ottenibile sperimentalmente. Di converso, i cosiddetti corpi bianchi riflettono buona parte della radiazione che li colpisce, ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione e dalla sua temperatura, ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:
Note
Bibliografia
Nino Zanghi, Appunti di meccanica statistica, Dipartimento di Fisica dell'Università di Genova, Esempio 2.2 (Relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica)
Voci correlate Equazione di stato Costante di Stefan-Boltzmann Legge di Wien Legge di Rayleigh-Jeans Legge di Planck Corpo nero Eccitanza Legge di Prevost
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