In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.
La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e costituiscono un reticolo modulare.
Enunciato Sia uno spazio vettoriale su un campo dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano e due sottospazi di . Indicando con il sottospazio somma di e dato da:.
e con il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:.
Somma diretta
Due sottospazi e sono in somma diretta se . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:
Se inoltre , si dice che si decompone in somma diretta di e e si scrive:
In questo caso il sottospazio è un supplementare di (e viceversa).
Ad esempio, lo spazio delle matrici quadrate a coefficienti in un campo si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:
La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:
Dimostrazione Struttura della dimostrazione La formula si dimostra individuando due basi per e che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base per , e si completa ad una base di , e ad una base di . I vettori in:
generano lo spazio , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per . Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.
Verifica dell'indipendenza lineare L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:
che viene mostrata nel modo seguente. Sia:
Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:
In altre parole, raggruppando:
si ottiene:
Da questo segue che , e poiché sia che appartengono a , ne segue che anche appartiene a . Quindi appartiene all'intersezione , e si scrive come combinazione lineare di elementi di . D'altra parte, come elemento di , è descritto come combinazione lineare di elementi di : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:
Si ottiene quindi . Poiché i vettori sono una base di , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:
Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:
è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.
Conteggio dimensioni Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:
Dimostrazione alternativa Si consideri la funzione:
che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:
Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a , e l'isomorfismo è dato da:
Si ha quindi:
dove si è applicato il teorema del rango più nullità.
Dimostrazione con il teorema di isomorfismo La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:
con e visti come gruppi (notazione additiva), e dove con si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:
che è la formula di Grassmann.
Esempi Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica: Uno dei due sottospazi o ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha e e la formula si riduce a una identità. e sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine): se le rette sono distinte contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0. se coincidono e ancora si ha una identità. è una retta per l'origine e un piano per l'origine: se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0; se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1. e sono piani per l'origine: se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1; se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.
Note
Bibliografia
Voci correlate Base (algebra lineare) Dimensione (spazio vettoriale) Somma diretta Sottospazio vettoriale Teorema della dimensione
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra lineare