In matematica i numeri surreali costituiscono un campoNella formulazione originale, i surreali formano una classe propria, e non un insieme, quindi il termine "campo" non è del tutto corretto. Questo fatto può essere superato limitando la costruzione ad un universo di Grothendieck, cosa che fornisce un insieme avente come cardinalità un qualche cardinale fortemente inaccessibile. che contiene i numeri reali e anche numeri infiniti e infinitesimi, rispettivamente maggiori o minori in valore assoluto di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri iperreali.
La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a John Horton Conway, ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva. Furono introdotti da Donald Knuth in un libro del 1974 dal titolo Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (esiste anche una traduzione italiana del testo). Questo libro è un breve racconto matematico, e va notato che è uno dei rari casi in cui una nuova idea matematica viene prima presentata in un lavoro di fantasia. Nel suo libro, che ha la forma di dialogo, Knuth ha coniato il termine numero surreale per quegli oggetti che Conway, in origine, aveva semplicemente chiamato numeri. A Conway piacque il nuovo nome tanto che, in seguito, lo adottò. Conway ha descritto i numeri surreali e li ha usati per analizzare i giochi nel suo libro del 1976 dal titolo On Numbers and Games.
Costruzione dei numeri surreali L'idea di base che sta dietro alla costruzione dei numeri surreali è simile al concetto di sezione di Dedekind. Si costruiscono nuovi numeri rappresentandoli con due insiemi di numeri, indicati con L e R (iniziali di left, sinistra e right, destra, in inglese), che approssimano i nuovi numeri; l'insieme L contiene i numeri minori del nuovo numero e l'insieme R contiene i numeri che sono maggiori del nuovo numero. Questa approssimazione viene indicata con { L | R }. Non viene fatta alcuna restrizione su L e R eccettuato il fatto che ogni numero in L deve essere minore di ogni numero in R. Per esempio, { {1, 2} | {5, 8} } è una costruzione valida di un certo numero compreso tra 2 e 5 (quale sia questo numero e perché sia proprio quello sarà spiegato nel seguito). Gli insiemi L e R possono essere vuoti. Ricordando che {} indica l'insieme vuoto, l'interpretazione intuitiva di { L | {} } sarà "un numero maggiore di tutti i numeri in L", mentre quella di { {} | R } sarà "un numero minore di tutti i numeri in R". Questo porta alla seguente regola di costruzione:
Regola di costruzione Se L e R sono due insiemi di numeri surreali e nessun membro di R è minore o uguale di qualche membro di L allora { L | R } è un numero surreale.
Dato un numero surreale x = { XL | XR } gli insiemi XL e XR sono chiamati insieme sinistro di x e insieme destro di x rispettivamente. Per evitare di usare tante parentesi graffe si usa scrivere il numero { {a, b, ... } | { x, y, ... } } semplicemente come { a, b, ... | x, y, ... }, il numero { {a} | {} } come { a | } e { {} | {a} } come { | a }Caratteri minuscoli nella notazione { a | b } si riferiscono a numeri o giochi singoli, mentre caratteri maiuscoli nella notazione { L | R } si riferiscono a insiemi di numeri o giochi..
Perché i numeri così generati possano effettivamente essere qualificati come numeri deve esserci una relazione d'ordine tra di essi (qui indicata con ≤). Questa relazione è fornita dalla seguente regola:
Regola del confronto Per i numeri surreali x = { XL | XR } e y = { YL | YR } si ha che x ≤ y se e solo se y non è minore o uguale di alcun numero di XL, e nessun membro di YR è minore o uguale di x.
Le due regole sono ricorsive, dunque è necessaria una sorta di induzione matematica per poterle usare. Un'ovvia candidata sarebbe l'induzione finita, che consente di generare tutti i numeri che possono essere costruiti applicando la regola di costruzione un numero finito di volte, ma le cose diventano interessanti se si permette l'uso dell'induzione transfinitaL'induzione transfinita richiede che non esistano successioni x1, x2, x3, ... tali che xi+1 sia un'opzione di xi per ogni i ≥ 0., che permette di applicare la regola infinite volte. Se si vuole che i numeri generati rappresentino effettivamente dei numeri, allora l'ordinamento che viene definito su essi deve essere un ordine totale. Però la relazione ≤ definisce soltanto un preordinamento totale, e cioè non è antisimmetrica. Per rimediare a questo fatto si definisce la relazione binaria == sui numeri surreali che vengono generati in modo tale che
x == y se e solo se x ≤ y e y ≤ x.
Dato che così si definisce una relazione di equivalenza, l'ordinamento sulle classi di equivalenza che deriva da ≤ è un ordine totale. L'interpretazione di questo fatto consiste nel notare che se x e y sono nella stessa classe di equivalenza allora essi rappresentano effettivamente lo stesso numero. Le classi di equivalenza a cui appartengono x e y vengono indicate con [x] e [y] rispettivamente. Così se x e y appartengono alla stessa classe di equivalenza, si ha che [x] = [y].
Si considerino ora alcuni esempi per osservare come essi si comportano nei confronti dell'ordinamento. L'esempio più semplice è naturalmente
{ | } ovvero: { {} | {} }
che può essere costruito senza fare uso dell'induzione. Questo numero viene indicato con 0 e la classe di equivalenza viene indicata con 0. Applicando la regola di costruzione si possono considerare i seguenti tre numeri:
{ 0 | }, { | 0 } e { 0 | 0 }.
L'ultimo numero non è un numero surreale valido perché 0 ≤ 0. Se si considera l'ordinamento relativo a numeri surreali validi si vede che
{ | 0 } < 0 < { 0 | },
dove x < y significa non(y ≤ x). I numeri { | 0 } e { 0 | } vengono indicati con -1 e 1 rispettivamente. Dato che ogni classe di equivalenza contiene solo un elemento che è stato definito fino ad ora, si possono sostituire le affermazioni fatte sull'ordinamento dei numeri surreali con affermazioni analoghe fatte sulle classi di equivalenza senza rischio di ambiguità. Ad esempio, l'affermazione precedente può diventare:
{ | 0 } < 0 < { 0 | }
o anche
-1 < 0 < 1.
Se si applica la regola di costruzione ancora una volta si ottiene il seguente insieme ordinato:
{ | -1 } == { | -1, 0 } == { | -1, 1 } == { | -1, 0, 1 } < { | 0, 1 } == -1 < { -1 | 0 } == { -1 | 0, 1 } < { -1 | } == { | 1 } == { -1 | 1 } == 0 < { 0 | 1 } == { -1, 0 | 1 } < { -1, 0 | } == 1 < { 1 | } == { 0, 1 | } == { -1, 1 | } == { -1, 0, 1 | }
Si possono fare tre osservazioni:
Sono state trovate quattro nuove classi di equivalenza: [{ | -1 }], [{ -1 | 0 }], [{ 0 | 1 }], e [{ 1 | }]. Tutte le classi di equivalenza ora contengono più di un elemento. Le classi di equivalenza di un numero dipendono solo dal massimo elemento del suo insieme sinistro e dal minimo elemento del suo insieme destro.
La prima osservazione fa sorgere il problema dell'interpretazione di queste nuove classi di equivalenza. Dato che l'interpretazione informale di { | -1 } è "il numero precedente a -1", questo numero sarà chiamato -2 e la sua classe di equivalenza verrà indicata con -2. Analogamente il numero { 1 | } sarà chiamato 2 e la sua classe di equivalenza 2. Il numero { -1 | 0 } è un numero compreso tra -1 e 0 e sarà chiamato -1/2, e la sua classe di equivalenza -1/2. Infine il numero { 0 | 1 } viene chiamato 1/2 e la sua classe di equivalenza 1/2. Verranno date ulteriori giustificazioni a questi nomi una volta che saranno definite le operazioni di addizione e moltiplicazione.
La seconda osservazione fa sorgere il problema della validità della rappresentazione dei numeri surreali mediante le loro classi di equivalenza. La rappresentazione è valida perché si può dimostrare che
se [XL] = [YL] e [XR] = [YR] allora [{ XL | XR }] = [{ YL | YR }],
dove [X] denota { [x] | x appartiene a X }. In questo modo la descrizione dell'insieme ordinato trovata precedentemente può essere riscritta come
{ | -1 } = { | -1, 0 } = { | -1, 1 } = { | -1, 0, 1 } < { |0, 1 } = -1 < { -1 | 0 } = { -1| 0, 1 } < { -1 | } = { | 1 } = { -1 | 1 } = 0 < { 0 | 1 } = { -1, 0 | 1 } < { -1, 0 | } = 1 < { 1 | } = { 0, 1 | } = { -1, 1 | } = { -1, 0, 1 | }
che, a sua volta, può essere riscritta così:
-2 < -1 < -1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.
La terza osservazione si estende a tutti i numeri surreali con insiemi destro e sinistro finiti. Se almeno uno dei due insiemi è infinito, essa è valida in una forma diversa, dato che insiemi infiniti potrebbero non contenere un elemento massimo o minimo. Il numero { {1, 2} | {5, 8} } perciò è equivalente a { 2 | 5 }, numero che verrà calcolato esattamente in seguito.
Calcoli con i numeri surreali L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:
Addizione x + y = { XL + y ∪ x + YL | XR + y ∪ x + YR }
dove X + y = { x + y | x appartiene a X } e x + Y = { x + y | y appartiene a Y }.
Negazione -x = { -XR | -XL }
dove -X = { -x | x appartenente X }
Moltiplicazione xy = { (XLy + xYL - XLYL) ∪ (XRy + xYR - XRYR) | (XLy + xYR - XLYR) ∪ (XRy + xYL - XRYL) }
dove XY = { xy | x appartiene a X e y appartiene a Y }, Xy = X{y} e xY = {x}Y.
Si può dimostrare che queste operazioni sono ben definite per i numeri surreali, e cioè se esse vengono applicate a numeri surreali ben definiti allora il risultato sarà ancora un numero surreale ben definito, ovvero l'insieme sinistro del risultato sarà "minore" dell'insieme destro.
Con queste regole si può verificare che i nomi scelti per i numeri trovati precedentemente sono appropriati. Risulta, per esempio, che 0 + 0 = 0 , 1 + 1 = 2 , -(1) = -1 e 1/2 + 1/2 == 1 (si osservi il diverso uso dell'uguaglianza "=" e dell'equivalenza "==").
Le operazioni viste finora sono definite per i numeri surreali, ma si vuole generalizzarle alle classi di equivalenza. Ciò può essere fatto senza ambiguità perché risulta che
se [x] = [x' ] e [y]=[y' ] allora [x + y] = [x' + y' ] e [-x] = [-x' ] e [xy] = [x'y' ].
Infine si può dimostrare che le operazioni generalizzate sulle classi di equivalenza hanno le proprietà algebriche che ci si aspetta: le classi di equivalenza assieme al loro ordinamento e alle operazioni algebriche costituiscono un campo ordinato, con l'avvertenza che non formano un insieme ma una classe propria. In effetti quello che risulta è un campo ordinato molto speciale: il più grande possibile. Ogni altro campo ordinato può essere immerso nei surreali (si vedano anche le definizioni di numero razionale e numero reale).
Da ora in poi non si distinguerà più un numero surreale dalla sua classe di equivalenza, e la classe stessa sarà chiamata numero surreale.
Generazione di numeri surreali mediante induzione finita Fino ad ora non si è controllato quali numeri possono essere creati e quali non possono esserlo mediante l'applicazione della regola di costruzione. Come prima cosa si considerino i numeri che possono essere creati applicando la regola un numero finito di volte, definendo induttivamente Sn (con n numero naturale) come di seguito: S0 = {0}; Si + 1 è uguale a Si più l'insieme di tutti i numeri surreali che sono generati mediante la regola di costruzione a partire dai sottoinsiemi di Si. L'insieme di tutti i numeri surreali che sono generati in qualche Si viene indicato con Sω. I primi insiemi di classi di equivalenza che vengono costruiti sono i seguenti:
S0 = { 0 } S1 = { -1 < 0 < 1 } S2 = { -2 < -1 < -1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2} S3 = { -3 < -2 < -3/2 < -1 < -3/4 < -1/2 < -1/4 < 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3 } S4 = ...
Ciò conduce alle seguenti osservazioni: Ad ogni passo il massimo aumenta di 1 e il minimo diminuisce di 1. Ad ogni passo si trovano i numeri che sono in mezzo a due numeri che erano consecutivi nel passo precedente.