In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.
Definizione Sia uno spazio di Hilbert e l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su che hanno la forma , dove è l'identità e un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme è un gruppo in quanto:
e si può definire in modo naturale una metrica data da:
dove . Se ha come prodotto interno , allora la potenza esterna k-esima è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:
In particolare:
fornisce una base ortonormale di se è una base ortonormale di .
Se è un operatore limitato su , allora definisce funzionalmente un operatore limitato su :
Se è di classe traccia, allora lo è anche con:
In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:
Proprietà Se è di classe traccia:
definisce una funzione intera tale che:
La funzione è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:
Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:
Se e sono di classe traccia:
La funzione determinante definisce un omomorfismo tra e il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli.
Se e è invertibile:
Se è di classe traccia:
Commutatori Una funzione è differenziabile se è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:
nella norma . Se è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche e si ha:
dove:
Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se è differenziabile a valori in allora è una funzione differenziabile a valori in con:
Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se e sono operatori limitati con commutatore di classe traccia allora:
Bibliografia
Voci correlate Classe traccia Forma sesquilineare Nucleo di Fredholm Operatore compatto Operatore di Fredholm Operatore limitato Teoria di Fredholm
Categoria:Teoria di Fredholm