In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se e sono numeri reali positivi e tali che , allora
L'uguaglianza vale solo se , dal momento che .
La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.
Dimostrazione
Sappiamo che la funzione è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:
.
Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),
Dimostrazione alternativa
Sia una funzione convessa (). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,
Fissato , studiamo la derivata prima rispetto a della funzione :
Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di , che è una funzione concava, visto che è convessa), per la funzione ha un massimo. Dunque:
Dal momento che e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa (), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che sia la trasformata di Legendre di . La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:
Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di , purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,
Bibliografia
Voci correlate
Disuguaglianza di Hölder Trasformata di Legendre
Collegamenti esterni
http://mathworld.wolfram.com/YoungsInequality.html - L'articolo di MathWorld sulla disuguaglianza di Young.
Young, disuguaglianza di