In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.
Definizione Una funzione continua
fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni sottoinsieme compatto di è un insieme compatto in .
Successioni divergenti Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.
Esempi Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola è propria. La controimmagine di un compatto connesso è infatti il compatto .
Una funzione limitata non è mai propria.
Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione , non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo , che è un compatto, è che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione è propria.
Proprietà Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria. Ogni mappa propria ammette grado topologico.
Bibliografia
, section C3.2 "Proper maps" , p. 90 "Proper maps". Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
Voci correlate Funzione aperta Funzione chiusa Omeomorfismo Grado topologico Teorema di Sard
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale