In teoria dei numeri, si dice numero perfetto totiente un numero naturale n uguale alla somma dei suoi totienti iterati, da n fino ad 1. Ad esempio, considerando il numero 243, abbiamo: φ(243) = 162; φ(162) = 54; φ(54) = 18; φ(18) = 6; φ(6) = 2, φ(2) = 1. Dato che 162+54+18+6+2+1=243, 243 è un numero perfetto totiente.
I primi numeri perfetti totienti sono: 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571.
I numeri perfetti totienti sono necessariamente dispari.
Definizione formale Un numero intero positivo è perfetto totiente se e solo se
dove
è la funzione totiente iterata e
Proprietà matematiche Molti numeri perfetti totienti sono multipli di 3. Il più piccolo perfetto totiente a non essere divisibile per 3 è 4375. Tutte le potenze di 3 sono numeri perfetti totienti, come si può verificare per induzione osservando che
Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se è un numero primo, allora è un numero perfetto totiente. I primi valori di per i quali è primo sono: 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, 3306.
Più generalmente, se è un numero primo maggiore di e è un numero perfetto totiente, allora è esprimibile nella forma ossia (modulo 4); in più, è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con perfetto totiente e primo, anche è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una catena di Cunningham generalizzata. John Smith, Example of perfect totient number su PlanetMath.
Se è un numero perfetto totiente, allora è sempre un numero primo. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma dove è un numero primo maggiore di e
Note
Collegamenti esterni
Categoria:Successioni di interi Categoria:Funzione totiente