In fluidodinamica le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di tre equazioni di bilancio (equazioni alle derivate parziali) della meccanica dei continui, che descrivono un fluido viscoso lineare; in esse sono introdotte come leggi costitutive del materiale la legge di Stokes (nel bilancio cinematico) e la legge di Fourier (nel bilancio energetico). Le equazioni devono il loro nome a Claude-Louis Navier e a George Stokes.
Queste equazioni corrispondono all'approssimazione di Chapman del primo grado delle equazioni di bilancio. In modo corrispondente, le equazioni di bilancio di Eulero costituiscono la prima e più importante approssimazione (corrispondono all'approssimazione di grado zero dell'espansione), mentre le equazioni di Burnett costituiscono la seconda approssimazione nella espansione asintotica, che tiene conto di effetti del secondo ordine. La soluzione analitica delle equazioni nel caso generale rappresenta uno dei problemi irrisolti della matematica moderna (i cosiddetti 7 problemi per il millennio), per il quale è stato istituito il premio Clay. Soluzioni analitiche particolari si hanno in casi semplificati, mentre soluzioni approssimate si ottengono tipicamente ricorrendo ai metodi propri dell'analisi numerica, e all'uso congiunto del calcolatore.
In data 8 settembre 2026, l'azienda di intelligenza artificiale OpenAI ha annunciato una dimostrazione dell'esistenza di una soluzione delle equazioni di Navier-Stokes nello spazio euclideo tridimensionale che sviluppa una singolarità in tempo finito. Questa dimostrazione è stata sviluppata dai ricercatori dell'azienda mediante circa 10.000 agenti IA operanti in parallelo e lavorando su un avanzato modello IA interno all'azienda e non disponibile al pubblico. La dimostrazione è accompagnata da una formalizzazione nel linguaggio dell'assistente di dimostrazione Lean. Al momento dell'annuncio, l'affermazione non era stata verificata da matematici esterni né dal Clay Mathematics Institute. L'annuncio è stato accompagnato da un disputa scientifica sulla priorità della scoperta con Levent Alpöge (impiegato nell'azienda rivale Anthropic) e Tristan Buckmaster che hanno dimostrato indipendentemente un insieme di risultati strettamente correlati sulle equazioni di Eulero. OpenAI ha riconosciuto la priorità di Alpöge e Buckmaster su quest'ultimo risultato, negando tuttavia che il loro lavoro abbia influenzato la propria dimostrazione. La soluzione rivendicata da OpenAI si basa su un metodo sviluppato da Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa nel 2023 per dimostrare fenomeni di singolarità in alcune equazioni di fluidi.
Il modello matematico La maggiore efficienza predittiva di tali equazioni rispetto a quelle di Eulero viene pagata in termini di difficoltà di soluzione. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle derivate parziali e 20 variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene con la definizione delle proprietà del fluido considerato, delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a causa della loro non linearità, le equazioni di Navier-Stokes non ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (una soluzione approssimata con un metodo numerico).
Le equazioni di Navier-Stokes sono in grado di descrivere completamente qualsiasi flusso fluido, anche turbolento. In particolare per un flusso turbolento, dove cioè le traiettorie delle particelle di flusso non sono più costanti nel tempo, un approccio numerico di calcolo è chiamato generalmente simulazione numerica diretta (DNS). A causa del fatto che le risorse di calcolo necessarie alla loro risoluzione crescono con il numero di Reynolds (quasi con Re³) e che tale numero può avere valori dell'ordine di 106-109, tale approccio resta tecnicamente impossibile. In alternativa alla simulazione numerica è possibile adottare sistemi meno onerosi quali la formulazione LES o le equazioni mediate.
Le equazioni vengono completate dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali (condizioni imposte all'inizio temporale del fenomeno da studiare). Possono inoltre essere integrate dall'equazione di stato dei gas perfetti e dalle equazioni di conservazione delle singole specie gassose nel caso di una miscela di gas.
La soluzione delle equazioni fornisce il campo delle velocità del fluido. Da questo sarà poi possibile risalire a tutte le altre grandezze che caratterizzano il flusso.
Se per quasi un secolo la turbolenza è stata descritta come un processo statistico aleatorio, nell'agosto 2022 è stata sviluppata la prima evidenza sperimentale e alla simulazione numerica per la quale, sotto intervalli di tempo scelti opportunamente, le soluzioni sono deterministiche.
Ipotesi del modello Il modello matematico che permette l'analisi della dinamica dei continui deformabili si basa sulle seguenti caratteristiche: fluido continuo; fluido chimicamente omogeneo e non reagente; fluido privo di cariche elettriche.
Ipotesi di fluido continuo Viene trascurata la natura discontinua della materia, in questo modo sarà possibile far tendere a zero un volume di fluido, senza che questo possa restare privo di materia.
Un parametro fondamentale che caratterizza il mezzo dal punto di vista della continuità è il numero di Knudsen, definito come il rapporto tra il cammino libero medio di una particella costituente il fluido e una lunghezza caratteristica del flusso:
Se il numero di Knudsen è molto minore di uno, allora è possibile considerare il fluido continuo. Altrimenti sarà necessario studiare il comportamento del gas unicamente su base statistica, mediante la teoria cinetica dei gas, la quale analizza statisticamente la distribuzione delle velocità molecolari e da questa ricava tutte le proprietà del gas.
Ipotesi di fluido chimicamente omogeneo e non reagente Verranno trascurate le perturbazioni dovute alla non omogeneità del flusso ed alle reazioni chimiche. Ciò non sarà del tutto possibile per flussi reagenti quali quelli all'interno di una camera di combustione ad esempio.
Ipotesi di fluido privo di cariche elettriche Verranno trascurate le perturbazioni dovute al campo elettromagnetico. L'interazione di flussi con campi elettromagnetici è studiata dalla magnetofluidodinamica.
Deduzione empirica Le equazioni di Navier-Stokes sono la formalizzazione matematica di tre principi fisici ai quali i fluidi rispondono, imposta la condizione di continuo deformabile:
principio di conservazione della massa (equazione di continuità); secondo principio della dinamica (bilancio della quantità di moto); primo principio della termodinamica (conservazione dell'energia).
Per questo motivo sono spesso nominate anche equazioni di bilancio.
Nei successivi paragrafi indicheremo sempre il vettore velocità del fluido con la notazione , mentre p e ρ indicheranno rispettivamente la pressione statica e la densità del fluido stesso. Il simbolo rappresenterà il vettore delle accelerazioni di campo.
Descrizioni del moto materiale ed esterna
Ogni variabile di stato locale dipende in generale dalla posizione nello spazio e dal tempo. La posizione di una particella fluida poi, dipende dal tempo e dalla velocità di flusso.
Si usa in effetti solitamente descrivere temporalmente il moto di un fluido mediante in particolare due punti di vista, corrispondenti a due tipi diversi di derivata.
La descrizione più sintetica è la descrizione materiale (o Lagrangiana), che segue la traiettoria di ogni particella di fluido, coinvolgendo la derivata ordinaria rispetto al tempo delle variabili di stato locali (densità, velocità di flusso, temperatura).
Il punto di vista euleriano, invece, osserva le variazioni delle proprietà fisiche per ogni data posizione spaziale (x; y; z), e utilizza le derivate parziali. Le coordinate spaziali (assieme alla variabile temporale) saranno perciò variabili indipendenti. Le variabili dipendenti sono perciò funzione di quelle spaziali e temporali. Ad esempio, per la velocità:
Teorema del trasporto di Reynolds
Per comodità di trattazione riportiamo il teorema del trasporto di Reynolds, che, per una proprietà:
contenuta in un volume arbitrario V, che si muova con il fluido, ed abbia superficie S (a cui è associabile un vettore, con intensità corrispondente al valore numerico della proprietà A in quel punto della superficie, e verso normale alla superficie), è indicato come:
Ricordando il teorema della divergenza, è possibile esprimere la precedente anche come:
e ricordando che:
nonché la definizione di derivata totale, è possibile esprimere il teorema in una forma molto utile:
Equazione di continuità
Punto di vista lagrangiano Il principio di conservazione della massa, nel caso di moto di un fluido, può essere espresso dal punto di vista lagrangiano affermando che:
In questo caso dunque, in termini matematici:
Applicando il teorema del trasporto di Reynolds alla densità ρ (massa per unità di volume), otteniamo l'equazione di continuità in forma di divergenza:
che può essere riportata anche in forma indiciale:
che può essere riportata anche in forma estesa:
o in termini della derivata totale:
Punto di vista euleriano Lo stesso principio di conservazione, dal punto di vista euleriano, può essere così espresso:
Un generico flusso di massa per unità di superficie, che passi attraverso una coppia di facce P e Q di un volume, è considerato come il prodotto tra la densità ρ del fluido, la componente della velocità in direzione perpendicolare alla faccia considerata e l'area della faccia medesima.
Considerando l'ipotesi di elemento infinitesimo possiamo approssimare il valore del flusso nel punto centrale di ogni faccia con il suo valore medio e calcolare il valore del flusso su una faccia a partire dal valore assunto sulla faccia precedente tramite una serie di Taylor troncata al primo grado di espansione:
dove con Px e Qx si sono indicate le facce normali (cioè perpendicolari) alla direzione x. Seguendo l'enunciato del principio, ovverosia calcolando la differenza dei flussi, otteniamo:
Estendendo il ragionamento alle altre direzioni spaziali otteniamo che il flusso netto sarà uguale a:
Ponendo ora la variazione di massa nel tempo uguale all'opposto del flusso netto:
ed infine, per unità di volume:
riottenendo l'espressione precedentemente mostrata.
Equazione di bilancio della quantità di moto
Punto di vista lagrangiano La conservazione della quantità di moto (definita come prodotto della massa per la velocità o, per unità di volume, della densità per la velocità) si esprime affermando che:
e matematicamente:
dove, appunto, con Fe si è indicata la somma delle forze esterne, di massa (come ad esempio la forza di gravità) e di superficie (quali ad esempio le forze viscose).
Introducendo questa differenziazione nelle forze ed una formulazione integrale:
Il primo membro può essere trasformato in forma più conveniente mediante il teorema del trasporto di Reynolds:
che può essere ridotta nella forma:
dove l'ultimo integrale coincide con l'equazione di continuità ed è perciò nullo.
Se si applica il teorema della divergenza all'ultimo integrale dell'equazione della quantità di moto, sarà possibile scriverlo come integrale di volume. L'equazione si trasforma quindi come segue:
dove con σ si è indicato il tensore degli sforzi. Dato che l'uguaglianza precedente deve valere per qualsiasi arbitrario volume di integrazione, dovrà essere nullo l'integrando:
che esprime l'equazione della quantità di moto (per unità di volume).
Punto di vista euleriano Il secondo principio della dinamica esprime la conservazione della quantità di moto e, per un elemento del fluido può essere enunciato come segue:
Quindi, con formulazione integrale:
dove il volume (come la superficie S che lo racchiude) non è funzione del tempo.
Il tensore delle tensioni per un fluido