La locuzione "forma dell'universo", sebbene utilizzata in alcuni contesti divulgativi per descrivere sommariamente tramite un'impressione grafica i risultati della cosmologia, è a rigore priva di senso e può risultare fuorviante; i cosmologi e gli astronomi si occupano in realtà della descrizione della geometria dell'universo, in particolare della sua geometria locale e globale.
Introduzione Lo studio della geometria locale dell'universo riguarda principalmente la curvatura dell'universo osservabile, mentre l'indagine sulla sua geometria globale investe soprattutto il campo della topologia.
Ricavare una geometria locale dello spazio dalla geometria dell'intero universo non può avvenire senza specifiche basi fisico-ontologiche riguardanti la coesistenza dello spazio e del tempo: le teorie correnti considerano lo spazio e il tempo come due aspetti di una singola entità detta 'spazio-tempo'. I cosmologi di norma considerano "fette" di spazio-tempo, chiamate coordinate comoventi; in termini di osservazione, la sezione dello spazio-tempo che può essere osservata è rappresentata dal cosiddetto cono di luce del passato (luogo dei punti all'interno dell'orizzonte cosmico, dato un certo tempo necessario per raggiungere l'osservatore). Il relativo volume di Hubble può essere usato per descrivere questo cono e lo spazio comovente. Dal punto di vista della relatività speciale, parlare di "forma dell'universo" in un certo istante di tempo è però ontologicamente inesatto, a causa del problema della simultaneità: dal momento che non si può dire che due punti distinti dello spazio si trovano nello stesso istante di tempo, così non si può parlare di forma dell'universo "ad un certo istante di tempo". Tuttavia, nella fisica odierna è ampiamente accettata l'idea dell'esistenza di un sistema preferenziale di coordinate comoventi.
Se l'universo osservabile è più piccolo dell'intero universo (in alcuni modelli teorici è di molti ordini di grandezza o anche infinitamente più piccolo), non si può determinarne la struttura globale; al contrario, se l'universo osservabile abbraccia l'intero universo, se ne può determinare la struttura attraverso le osservazioni. Inoltre, l'universo potrebbe estendersi molto in alcune direzioni e poco in altre (come un cilindro); se infine fosse una sorta di anello chiuso, nel cielo si potrebbero vedere immagini multiple dello stesso oggetto.
La curvatura dello spazio La geometria locale, come detto, è la curvatura descritta in un generico punto dell'universo osservabile; molte osservazioni astronomiche, condotte grazie allo studio delle supernovae e della radiazione cosmica di fondo, mostrano come l'universo osservabile sia estremamente vicino alla condizione di totale omogeneità ed isotropia, e come inoltre stia accelerando la sua espansione. Un simile universo può essere rappresentato, nel contesto della relatività generale, grazie al modello di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (abbreviato in "modello FLRW"). Questo modello, ricavato dalle equazioni di Friedmann, assegna all'universo una curvatura basata sulla matematica della fluidodinamica (che considera la materia in esso contenuta come un fluido perfetto). Benché le stelle e le altre strutture cosmiche possono essere prese in considerazione per elaborare un "modello FLRW generalizzato", la versione più semplice di tale modello è sufficiente ad approssimare la geometria locale dell'universo osservabile.
Un'altra via per ricavare la geometria locale dello spazio consiste nel trascurare ogni forma della cosiddetta energia oscura, e calcolare la curvatura misurando la densità media di materia, assumendo che essa sia distribuita uniformemente (tralasciando dunque gli addensamenti provocati da oggetti massivi come le galassie). Questo assunto è giustificato dal fatto che l'universo è solo debolmente disomogeneo e anisotropo, mentre ad ampie scale risulta omogeneo e isotropo (vedi "Struttura a grande scala dell'universo").
L'omogeneità e l'isotropia dell'universo permettono l'esistenza di una geometria spaziale a curvatura costante. Un importante aspetto di questa geometria locale si ricava dalla relatività generale e dal modello FLRW: dalla curvatura dello spazio dipende il valore del parametro di densità (Ω), parametro che consiste nel rapporto tra la densità media dell'universo e la densità di energia critica; la curvatura dello spazio in ultima analisi permette di sapere se anche per le coordinate spaziali valgono semplici teoremi come quello di Pitagora, e in caso contrario fornisce altri strumenti matematici adatti ad esprimere le relazioni tra le distanze spaziali.
Il teorema di Pitagora nello spazio Euclideo si può scrivere come:
Si possono quindi avere tre casi:
se la curvatura risulta pari a zero, Ω = 1 e il teorema di Pitagora continua a valere; se Ω > 1 la curvatura è positiva e il teorema diventa ; se Ω < 1 la curvatura è negativa e il teorema si riscrive come .
Le conseguenti discrepanze nelle misure si noterebbero però solo per "triangoli" di dimensioni cosmologiche.
Se si misurano varie circonferenze con diametro costante in queste tre differenti geometrie e si divide la misura ottenuta per il diametro stesso, si ottiene sempre e comunque il valore di π per diametri abbastanza piccoli; questo rapporto tende ad allontanarsi dal valore di π per diametri sufficientemente elevati se Ω non è uguale a 1: infatti, per Ω > 1 (la sfera, vedi il grafico successivo) il rapporto è minore di π (una circonferenza su una sfera è in effetti solo il doppio del suo diametro); per Ω < 1 il rapporto è maggiore di π.
Dalle misure degli astronomi della densità di materia ed energia nell'universo e delle distanze spazio-temporali (utilizzando le supernovae) risulta che la curvatura dello spazio è molto vicina a 0, anche se non se ne conosce il segno; ciò significa che le geometrie locali, nonostante siano un prodotto della teoria della relatività e della nozione di "intervallo spazio-temporale", possono essere ben approssimate con la familiare geometria euclidea.
La geometria locale
Ci sono tre possibili geometrie spaziali a curvatura costante, ciascuna dipendente dal segno della curvatura: se essa è esattamente zero, la geometria locale è "piatta"; se è positiva, la geometria è "sferica"; se è negativa, la geometria è "iperbolica".
La geometria dell'universo è solitamente rappresentata in un sistema di coordinate comoventi, tralasciando l'espansione dell'universo stesso. Queste coordinate costituiscono un sistema di riferimento in cui l'universo possiede una geometria statica nelle tre dimensioni spaziali.
Assumendo che l'universo sia omogeneo e isotropo, la curvatura dell'universo osservabile (ovvero la sua geometria locale) è descritta da una delle seguenti geometrie:
una geometria euclidea in 3 dimensioni, generalmente denominata E3; una geometria sferica in 3 dimensioni, con una piccola curvatura e chiamata S3; una geometria iperbolica in 3 dimensioni, con una piccola curvatura e denominata H3.
La geometria globale Il concetto di geometria globale si riferisce alla geometria (più precisamente alla topologia) dell'intero universo; dalla geometria locale non si può determinare con precisione la geometria globale, ma le pone comunque dei limiti precisi, in particolare per quanto riguarda una curvatura costante; è la geometria di Riemann a legare la geometria locale a quella globale: se la prima è a curvatura costante, la seconda risulta essere molto limitata nelle sue varietà.
Nel caso di una geometria spaziale "piatta", si ritiene che la scala a cui si osservano determinate proprietà topologiche possa essere scelta arbitrariamente. Per geometrie sferiche o iperboliche, la possibilità di rilevare la topologia attraverso delle osservazioni dirette dipende dalla curvatura dello spazio (come notò Carl Friedrich Gauss nel 1824Carl Friedrich Gauss, Werke 8, 175-239, citato e tradotto da John W. Milnor (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6(1), p. 10:
"L'ipotesi che la somma dei tre angoli [di un triangolo] sia minore di 180 ° porta a costruire una geometria che è abbastanza diversa dalla nostra (quella euclidea), ma che è di per sé del tutto coerente. Ho costruito questa geometria in modo soddisfacente per i miei scopi, in modo che io possa risolvere ogni problema, tranne che per la determinazione di una costante, che non può essere stabilita a priori. Più grande è il valore scelto per questa costante, più ci si avvicina ad approssimare la geometria euclidea...Se la geometria euclidea fosse la vera geometria, e se questa costante fosse comparabile alla distanze che possiamo misurare sulla terra o nel cielo, allora potrebbe essere ricavata a posteriori. Per questo ho a volte per scherzo espresso l'auspicio che la geometria euclidea non fosse vera: avremmo un'unità di misura assoluta a priori."): nel caso della geometria iperbolica, usando il raggio di curvatura o il suo inverso come scala di misura, una piccola curvatura della geometria locale (che corrisponderebbe ad un raggio di curvatura più ampio dell'universo osservabile) renderebbe difficoltoso o addirittura impossibile lo studio della topologia; nel caso invece della geometria sferica, ciò non comporterebbe alcuna difficoltà di osservazione.
Allo studio della geometria globale dell'universo si sovrappongono inoltre altri due importanti dibattiti della cosmologia moderna:
l'universo è infinito o è uno spazio compatto? L'universo è uno spazio semplicemente connesso o no?
Spazi compatti Quella di spazio compatto è una generica definizione topologica che comprende anche il concetto più preciso di "spazio metrico finito"; in un universo illimitato (spazio metrico infinito) esistono punti dello spazio arbitrariamente distanziati: per una qualsiasi distanza d, quindi, esistono sempre punti che sono separati da tale distanza. Un universo limitato, invece, è uno spazio metrico finito, poiché esiste una certa distanza d per la quale tutti i punti si trovano a distanze minori di essa; la d minore avente questa proprietà è chiamata diametro dell'universo (nel qual caso esso ha un ben definito volume o scala).
Uno spazio compatto soddisfa una condizione più stringente: nel contesto delle varietà riemanniane, esso è definito come uno spazio limitato e geodeticamente completo; se quest'ultima caratteristica è soddisfatta, allora gli attributi di limitatezza e di compattezza sono equivalenti (per il teorema di Hopf-Rinow), e possono essere intercambiati.
Se la geometria dello spazio è sferica, allora la topologia è compatta: le geodetiche con una certa direzione ritornano inevitabilmente al punto di partenza e lo spazio possiede un ben preciso "volume". Se la geometria dell'universo non è compatta, esso è dunque infinito in estensione (con infinite direzioni possibili che possono non tornare al punto di partenza) e non ha un volume definibile.
Per un universo con geometria piatta o iperbolica la topologia può essere sia compatta sia infinita.
Universo aperto o chiuso Quando i cosmologi parlano dell'universo come "aperto" o "chiuso", si riferiscono generalmente alla sua curvatura, negativa o positiva rispettivamente. Questi concetti di aperto e chiuso, assieme al loro significato matematico, possono far nascere delle ambiguità, dal momento che possono riferirsi anche ad una varietà chiusa (cioè compatta e illimitata), da non confondere con un insieme chiuso. Usando questa definizione, un "universo aperto" può essere sia una varietà aperta (non compatta e illimitataDal momento che si assume che l'universo sia connesso, non occorre usare la definizione più tecnica di "varietà aperta senza componenti compatte".), sia chiusa, mentre un "universo chiuso" è necessariamente una varietà chiusa.
Nel modello FLRW, l'universo è considerato senza confini, nel qual caso la nozione di "universo compatto" è in grado di rappresentare l'universo come una varietà chiusa.