Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero p.402.

Definizione Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da ad . In altre parole, è il valore dell'integrale

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che

Convenzioni In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "" per intendere altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio è il logaritmo in base di ). In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "" o (raramente) "" per intendere il logaritmo naturale di , mentre si scrive "" per intendere In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: . Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale. Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base . Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per si sottintende il logaritmo in base 2 di

La funzione inversa dell'esponenziale in base e La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

per tutte le positive e per tutte le reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da , non solo , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata La derivata della funzione logaritmo naturale è data da p.V12

Serie comuni La serie di Taylor centrata in del logaritmo naturale è p.239:

Utilizzando l'identità

e sostituendo nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni con valore assoluto maggiore di :

Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero è sufficiente sostituire al posto di .

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

Un altro procedimento per la stima di è fornito dall'algoritmo Newton-Raphson: è la soluzione dell'equazione , che partendo da una approssimazione arbitraria , si può ottenere iterativamente trovando un'approssimazione successiva, progressivamente più vicina.

Al posto dell'esponenziazione è possibile sfruttare o la serie di Taylor per l'esponenziale, o il limite fondamentale per ottenere risultati algebrici.

Integrali e regole di integrazione L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti p.562:

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma che si traducono nella scrittura : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

Cioè p.533

e p.W9

Esempi Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:

Da cui ponendo si ha che e quindi:

dove è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica p.609 era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ):

che diventa:

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

e

Note

Bibliografia Guido Fubini Lezioni di analisi matematica (Torino: Società tipografico-editrice nazionale, 1920) Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (2002): Elementi di analisi matematica uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8 Walter Rudin (1953): Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1

A. W. Knapp (2005): Basic Real Analysis, Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6 Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, ISBN 3-540-65340-6

Voci correlate Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche Serie di Mercator

Collegamenti esterni

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