In matematica, in particolare in teoria assiomatica degli insiemi, un universo di Grothendieck è un insieme U tale che:
Se x è un elemento di U e y è un elemento di x allora anche y è un elemento di U. Se x e y sono elementi di U allora {x,y} è un elemento di U. Se x è un elemento di U, allora P(x), l'insieme delle parti di x, è un elemento di U. Se x è un elemento di U allora l'unione è un elemento di U.
Un universo di Grothendieck è un insieme in cui tutte le operazioni insiemistiche possono essere eseguite (Infatti un universo di Grothendieck non numerabile fornisce un modello di teoria degli insiemi con la naturale relazione di appartenenza ∈). Per esempio, proviamo la seguente proposizione:
Proposizione 1. Se e allora . Dimostrazione. poiché . poiché , quindi .
In maniera simile si prova che ogni universo di Grothendieck U contiene:
Tutti i singoletti di ognuno dei suoi elementi, Tutti i prodotti di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U, Tutte le unioni disgiunte di famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U, Tutte le intersezioni di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U, Tutte le funzioni tra due elementi di U, e Tutti i sottoinsiemi di U la cui cardinalità è un elemento di U.
L'idea degli universi è dovuta ad Alexander Grothendieck, che la usò come metodo per evitare le classi in geometria algebrica.
Bibliografia
Voci correlate Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck
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