In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con , è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme è contenuto o incluso nell'insieme se, per ogni elemento , se appartiene a allora appartiene ad ". In simboli, dati due insiemi e , si ha: Eventualmente si deve aggiungere per avere l'inclusione propria. L'insieme si dice sottoinsieme di .
Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di è anche elemento di ma che esistono elementi di che non sono elementi di .
Nel caso in cui tutti gli elementi di appartengono anche a si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di non è compreso nell'insieme , cioè nel caso dell'inclusione stretta.
Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è , mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è . Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con un sottoinsieme e con un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che non coincide con ).
Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è (oppure ) per il sovrainsieme, e (oppure ) per il sovrainsieme proprio.
Proprietà L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono: (riflessività) (antisimmetria) (transitività)
In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di e : " è uguale se e solo se è contenuto in e è contenuto in ", cioè:
L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme si ha che ".
Valgono
Se , allora:
Distinzione fra inclusione ed appartenenza Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.
Esempi: è esatta: - cioè appartiene all'insieme è errata: - cioè non si può dire che è incluso nell'insieme è esatta: - cioè il singoletto di è incluso nell'insieme
Storia Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.
Note
Voci correlate Appartenenza Sottoclasse (insiemistica) Sottoinsieme Relazione binaria Teoria degli insiemi Teoria ingenua degli insiemi Teorie formali degli insiemi Insieme delle parti : unione : intersezione
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