Nelle discipline matematiche della topologia, della geometria e della teoria dei gruppi, un orbifold (contrazione dell'inglese orbit-manifold, "varietà orbitale", tradotto talvolta in italiano con orbivarietà) è una generalizzazione del concetto di varietà. È uno spazio topologico (chiamato lo spazio sottostante o spazio soggiacente) con una struttura di orbifold (vedi sotto).
Lo spazio sottostante somiglia localmente allo spazio quoziente di uno spazio euclideo sotto l'azione lineare di un gruppo finito.
Origine Matematicamente, gli orbifold comparvero inizialmente come superfici con punti singolari ben prima di essere formalmente definiti.Henri Poincaré (1985). Uno dei primi esempi classici comparve nella teoria delle forme modulariJean-Pierre Serre (1970). con l'azione del gruppo modulare SL(2,Z) sul semipiano superiore: una versione del teorema di Riemann-Roch è valida dopo che il quoziente è compattato dall'aggiunta di due punti a cuspide di orbifold. Nella teoria delle 3-varietà, la teoria degli spazi di Seifert, iniziata da Seifert, può essere espressa in termini di orbifold bidimensionali.Scott (1983). Nella teoria dei gruppi, post-Gromov, i gruppi discreti sono stati studiati in termini delle proprietà della curvatura locale degli orbiedri e dei loro rivestimenti.Bridson and Haefliger (1999).
Nella teoria delle stringhe, la parola "orbifold" ha un significato leggermente diverso,Di Francesco, Mathieu & Sénéchal (1997) discusso in dettaglio sotto. Nella teoria di campo conforme, una parte matematica della teoria delle stringhe, si usa spesso per riferirsi alla teoria annessa alla sottoalgebra del punto fisso dell'algebra di vertice sotto l'azione di un gruppo finito di automorfismi.
Il principale esempio di spazio sottostante è uno spazio quoziente di una varietà sotto l'azione propriamente discontinua di un gruppo possibilmente finito di diffeomorfismi con sottogruppi di isotropia finiti.Bredon (1972). In particolare questo si applica a qualsiasi azione di un gruppo finito; pertanto una varietà con bordo contiene una struttura di orbifold naturale, dal momento che essa è il quoziente del suo doppio per un'azione di Z2. Similmente lo spazio quoziente di una varietà per un'azione propria liscia di S1 contiene la struttura di orbifold.
La struttura di orbifold dà una stratificazione naturale mediante varietà aperte sul suo spazio sottostante, dove uno strato corrisponde a un insieme di punti singolari dello stesso tipo.
Si dovrebbe notare che uno spazio topologico può contenere molte diverse strutture di orbifold. Per esempio, si consideri l'orbifold O associato a un fattore spaziale della 2-sfera insieme a una rotazione di ; esso è omeomorfo alla 2-sfera, ma la struttura di orbifold naturale è diversa. È possibile adottare la maggior parte delle caratteristiche delle varietà per gli orbifold, caratteristiche che sono solitamente diverse da quelle corrispondenti dello spazio sottostante. Nell'esempio di sopra il gruppo fondamentale dell'orbifold di O è Z2 e la caratteristica di Eulero dell'orbifold è 1.
Terminologia Le definizioni di orbifold sono state date parecchie volte: da Ichirô Satake, nel contesto delle forme automorfiche, negli anni 1950, sotto il nome di V-varietà;Satake (1956). da William Thurston, nel contesto della geometria delle 3-varietà, negli anni 1970Thurston (1978), Capitolo 13. quando coniò il nome orbifold, dopo una votazione da parte dei suoi studenti; e da André Haefliger, negli anni 1980, nel contesto del programma di Michail Leonidovič Gromov sugli spazi CAT(k), sotto il nome orbiedro.Haefliger (1990).
Qui sarà descritta la definizione di Thurston: è la più ampiamente usata ed è applicabile in tutti i casi.
Definizioni formali Come una varietà, un orbifold è specificato dalle condizioni locali; tuttavia, invece di essere modellato localmente su sottoinsiemi aperti di Rn, un orbifold è modellato localmente sui quozienti dei sottoinsiemi aperti di Rn per azioni di gruppo finite. La struttura di un orbifold codifica non solo quella dello spazio quoziente sottostante, che non è necessario sia una varietà, ma anche quella dei sottogruppi di isotropia.
Un orbifold n-dimensionale è uno spazio topologico di Hausdorff X, chiamato lo spazio sottostante (o spazio soggiacente), con un fissato ricoprimento, che sia una collezione di insiemi aperti Ui, chiusi rispetto all'intersezione finita. Per ogni Ui, c'è
un sottoinsieme aperto Vi di Rn, invariante sotto un'azione lineare fedele di un gruppo finito Γi una mappa continua φi di Vi su Ui invariante sotto Γi, chiamata carta di orbifold, che definisce un omeomorfismo tra Vi / Γi e Ui.
La collezione delle carte di orbifold è chiamata atlante di orbifold se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
per ogni inclusione Ui Uj c'è un omomorfismo di gruppi iniettivo fij : Γi Γj per ogni inclusione Ui Uj c'è un omeomorfismo Γi -equivariante ψij, chiamato mappa adesiva, di Vi su un sottoinsieme aperto di Vj le mappe adesive sono compatibili con le carte, cioè φj·ψij = φi le mappe adesive sono uniche a meno di composizione con elementi dei gruppi, cioè qualsiasi altra possibile mappa adesiva da Vi a Vj ha la forma g·ψij per un unico g in Γj.
L'atlante di orbifold definisce completamente la struttura di orbifold: due atlanti di orbifold di X danno la stessa struttura di orbifold se possono essere combinati in modo coerente per ottenere un più vasto atlante di orbifold. Si noti che la struttura di orbifold determina il sottogruppo di isotropia di qualsiasi punto dell'orbifold fino all'isomorfismo: esso può essere calcolato come lo stabilizzatore del punto in qualsiasi carta di orbifold. Se Ui Uj Uk, allora c'è un unico elemento di transizione gijk in Γk tale che
gijk·ψik = ψjk·ψij.
Questi elementi di transizione soddisfano
(Ad gijk)·fik = fjk·fij
nonché la relazione di cociclo (garantendo l'associatività)
fkm(gijk)·gikm = gijm·gjkm.
In senso più generale, annesso a una copertura aperta di un orbifold mediante le carte di orbifold, c'è il dato combinatorio di un cosiddetto complesso di gruppi (vedi sotto).
Esattamente come nel caso delle varietà, delle condizioni di differenziabilità possono essere imposte sulle mappe adesive per dare una definizione di orbifold differenziabile. Sarà un orbifold riemanniano se in aggiunta vi sono metriche riemanniane sulle carte di orbifold e le mappe adesive sono isometrie.
Per le applicazioni nella teoria geometrica dei gruppi, conviene spesso avere una nozione leggermente più generale di orbifold, dovuta a Haefliger. Un orbispazio rappresenta per gli spazi topologici quello che un orbifold rappresenta per le varietà. Esso in sostanza è una generalizzazione topologica del concetto di orbifold. È definito sostituendo il modello delle carte di orbifold mediante uno spazio localmente compatto con un'azione rigida di un gruppo finito, cioè uno per il quale i punti con isotropia banale sono densi. (Questa condizione è soddisfatta automaticamente dalle azioni lineari fedeli, perché i punti fissati da qualsiasi elemento di gruppo non banale formano un vero e proprio sottospazio vettoriale.) È anche utile considerare le strutture dello spazio metrico su un orbispazio, dato dalle metriche invarianti sulle carte di orbispazio per le quali le mappe adesive mantengono la distanza. In questo caso si richiede che ciascuna carta di orbispazio sia uno spazio di lunghezza con un'unica geodetica che connette due punti qualsiasi.
Esempi Qualsiasi varietà senza bordo è banalmente un orbifold. Ciascuno dei gruppi Γi è il gruppo banale. Se N è una varietà compatta con bordo, il suo doppio M può essere formato incollando insieme una copia di N e la sua immagine speculare lungo la loro frontiera comune. C'è l'azione naturale di riflessione di Z2 sulla varietà M che fissa il bordo comune; lo spazio quoziente può essere identificato con N, in modo che N abbia una struttura di orbifold naturale. Se M è una n-varietà riemanniana con un'azione isometrica propria cocompatta di un gruppo discreto Γ, allora lo spazio orbitale X = M/Γ ha una struttura di orbifold naturale: per ciascun x in X si prenda un m rappresentativo in M e un intorno aperto Vm di m invariante sotto lo stabilizzatore Γm, identificato equivariantemente con un sottoinsieme Γm di TmM sotto la mappa esponenziale presso m; dal punto di vista finito molti contorni coprono X e ognuna delle intersezioni finite, se non vuota, è coperta da un'intersezione di Γ-traslati gm·Vm con il gruppo corrispondente gm Γ gm−1. Gli orbifold che nascono in questo modo sono chiamati "sviluppabili" o "buoni". Un teorema classico di Henri Poincaré costruisce i gruppi fuchsiani come gruppi di riflessione iperbolici generati dalle riflessioni ai margini di un triangolo geodetico nel piano iperbolico per la metrica di Poincaré. Se il triangolo ha gli angoli π / ni per interi positivi ni, il triangolo è un dominio fondamentale e un orbifold naturalmente bidimensionale. Il gruppo corrispondente è un esempio di un gruppo triangolare. Poincaré diede anche una versione tridimensionale di questo risultato per i gruppi kleiniani: in questo caso il gruppo kleiniano Γ è generato dalle riflessioni iperboliche e l'orbifold è H3 / Γ. Se M è una 2-varietà chiusa, le nuove strutture di orbifold possono essere definite su Mi rimuovendo in modo finito molti dischi chiusi disgiunti da M e rincollando copie dei dischi D/ Γi dove D è il disco unitario chiuso e Γi è un gruppo ciclico finito di rotazioni. Questo generalizza la costruzione di Poincaré.
Gruppo fondamentale dell'orbifold Ci sono parecchi modi di definire il gruppo fondamentale dell'orbifold. Approcci più sofisticati usano gli spazi di rivestimento o gli spazi di classificazione dei gruppoidi. L'approccio più semplice (adottato da Haefliger e noto anche a Thurston) estende la nozione consueta di laccio usata nella definizione standard del gruppo fondamentale.
Un cammino di orbifold è un cammino nello spazio sottostante munito di un sollevamento esplicito a tratti di segmenti del cammino verso carte di orbifold e di elementi espliciti del gruppo che identificano i cammini in carte sovrapposte; se il cammino sottostante è un laccio, è chiamato laccio dell'orbifold. Die cammini di orbifold sono identificati se sono legati attraverso la moltiplicazione da elementi del gruppo nelle carte di orbifold. Il gruppo fondamentale dell'orbifold è il gruppo formato dalle classi di omotopia dei lacci dell'orbifold.
Se l'orbifold scaturisce come il quoziente di una varietà M semplicemente connessa mediante un'azione rigida propria di un gruppo discreto Γ, il gruppo fondamentale dell'orbifold può essere identificato con Γ. In generale è un'estensione di Γ mediante π1 M.
L'orbifold si dice sviluppabile o buono se scaturisce come il quoziente mediante un'azione di gruppo finita; altrimenti è chiamato cattivo. Un orbifold universale di rivestimento può essere costruito per un orbifold in diretta analogia con la costruzione dello spazio universale di rivestimento di uno spazio topologico, ossia come lo spazio di coppie consistente in punti dell'orbifold e in classi di omotopia dei cammini di orbifold che li uniscono al punto base. Questo spazio è naturalmente un orbifold.
Si noti che se una carta di orbifold su un sottoinsieme aperto contraibile corrisponde a un gruppo Γ, allora c'è omomorfismo locale di Γ nel gruppo fondamentale dell'orbifold.
Infatti le seguenti condizioni sono equivalenti: L'orbifold è sviluppabile. La struttura dell'orbifold sull'orbifold universale di rivestimento è banale. Gli omomorfismi locali sono tutti iniettivi per un ricoprimento mediante insiemi aperti contraibili.
Orbispazi non positivamente curvi