In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato Sia un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach e . Allora è una funzione aperta, ovvero se è un insieme aperto in , allora è aperto in .

Dimostrazione La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1 Occorre provare che per ogni e per ogni , intorno di , è un intorno di . Per linearità risulta (, ), per cui è sufficiente provare l'affermazione per . Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla , è sufficiente provare che per ogni esiste un tale che . Osserviamo inoltre che ed anche, per linearità, che per ogni .

Per la suriettività di si ha:

.

Per il teorema della categoria di Baire esiste tale che: ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

deduciamo che ha interno non vuoto.

Parte 2 Sia un aperto di tale che:

Ovviamente contiene lo zero, ma occorre provare che esiste tale che:

Siano e . Poiché l'applicazione è un omeomorfismo, esiste un intorno di zero in tale che:

Si ha:

poiché implica che . Pertanto abbiamo provato che:

e quindi:

e è un intorno di zero in . Pertanto esiste tale che:

Parte 3 Si vuole provare che , cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che risulta contenuto in . Sia . Si scelga tale che , cioè . Per quanto detto in precedenza risulta:

quindi possiamo scegliere tale che:

, cioè

Iterando il procedimento risulta definita una successione in tale che:

e

Risulta:

quindi esiste:

e si ha:

Quindi e, per la continuità di , risulta . Da ciò segue che

ed il teorema è provato.

Corollari

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze: Il teorema della funzione inversa afferma che se è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach e , allora l'operatore inverso è anch'esso continuo. Il teorema del grafico chiuso afferma che se è un operatore lineare tra gli spazi di Banach e , e se per ogni successione in tale che e segue che , allora è continuo.

Bibliografia Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999. Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995. M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate Funzione aperta Operatore lineare continuo Teorema del grafico chiuso Teorema della categoria di Baire Teorema della funzione aperta (analisi complessa)

Categoria:Teoria degli operatori Funzione aperta