In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso..
Definizione Sia uno spazio vettoriale su un campo . Sia l'insieme di elementi di una base ordinata di . Allora ogni vettore si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:
Si definisce l'insieme delle coordinate di rispetto alla base data il vettore:
Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere , e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che è scritto rispetto alla base si usa spesso la notazione .
La mappa che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto a è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva,. la cui trasformazione inversa è data da:
Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di rispetto a .
Cambiamento di coordinate Siano e due basi diverse di . Siano i vettori che compongono la base .
Si denoti con la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori rispetto ai vettori della base :
Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da a . Si ha allora:.
In particolare, la matrice è la matrice associata all'identità rispetto alle basi e .
Note
Bibliografia
Voci correlate Base (algebra lineare) Combinazione lineare Covarianza e controvarianza Matrice di cambiamento di base Matrice di trasformazione Spazio vettoriale Vettore (matematica)
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra lineare Categoria:Sistemi di coordinate