La macchina di Galton (nota anche come scatola di Galton, quinconce o macchina dei fagioli) è un dispositivo inventato dallo scienziato britannico Francis Galton per fornire una dimostrazione pratica del teorema del limite centrale e mostrare come, con una dimensione campionaria sufficiente, la distribuzione binomiale approssimi una distribuzione normale.

Galton progettò storicamente questo strumento per illustrare la sua idea di regressione verso la media, fenomeno da lui definito come "ritorno alla mediocrità" e integrato successivamente nelle fondamenta della sua ideologia sull'eugenetica.

Descrizione La macchina consiste in un asse verticale sul quale sono piantati perpendicolarmente dei pioli posizionati secondo la configurazione a file sfalsate del quinconce (ossia come la rappresentazione del numero 5 sulla faccia di un comune dado da gioco). Da una fessura, posta in cima all'asse, vengono fatte cadere delle palline o delle perline. Queste, urtando i chiodi lungo la discesa, deviano in modo aleatorio verso destra o verso sinistra.

Sul fondo sono collocati dei contenitori cilindrici dove le palline si depositano l'una sull'altra, formando delle pile. Al termine dell'esperimento, se il piano di caduta è perfettamente allineato e privo di vizi, le altezze di queste pile assumono approssimativamente la forma di una curva a campana, tipica delle variabili casuali normali. Sovrapponendo un triangolo di Tartaglia alla disposizione dei chiodi, è possibile illustrare visivamente il numero di percorsi differenti che le palline possono seguire per giungere all'interno di ciascun contenitore alla base.

Sono stati realizzati modelli funzionanti su larga scala di questo dispositivo; alcuni, creati dai designer Charles e Ray Eames, figurano nelle esposizioni permanenti del Museum of Science di Boston, della New York Hall of Science e del museo The Henry Ford in Michigan.

Varianti della macchina Modificando la forma dei pioli o inclinandoli verso una direzione specifica, è possibile costruire macchine di Galton calibrate per rappresentare distribuzioni differenti o perfino distribuzioni bimodali.

Un caso peculiare è quello della distribuzione logaritmo normale (molto comune per definire svariati processi biologici). Al fine di visualizzarla fisicamente, l'astronomo olandese Jacobus Kapteyn costruì una macchina dotata non di normali pioli cilindrici, ma di triangoli isosceli di varia larghezza. Tale forma consente alla pallina di "moltiplicare" la distanza percorsa durante la deviazione di caduta (a differenza dei pioli fissi che creano una semplice addizione posizionale). Successivamente, il design della macchina log-normale venne ulteriormente perfezionato impiegando triangoli asimmetrici aventi il lato destro più lungo, impedendo così un irrealistico slittamento verso sinistra del valore mediano della colonna di palline.

Distribuzione delle palline Se una pallina devia a destra per volte durante la sua caduta (e a sinistra per i restanti chiodi), allora finirà nel -esimo contenitore a partire da sinistra, se si denota convenzionalmente il primo contenitore con il numero 0. Denotando con il numero di righe di chiodi inserite nella macchina, il numero totale di percorsi matematici possibili verso il -esimo contenitore situato sul fondo è dato dal coefficiente binomiale .

Se la probabilità matematica che la pallina devii verso destra urtando un singolo chiodo è pari a (valore che si attesta in media a 0,5 in caso di equiprobabilità data da un piano privo di inclinazioni e ostacoli anomali), la probabilità complessiva che la pallina finisca nel -esimo contenitore è pari all'equazione:

Tale equazione corrisponde all'esatta funzione di probabilità di una distribuzione binomiale. Il numero di righe dei pioli corrisponde alla dimensione della distribuzione in termini di numero di prove, mentre la probabilità su ciascun perno rappresenta la binomiale.

In applicazione del teorema del limite centrale (e più specificamente del teorema di de Moivre-Laplace), la distribuzione binomiale approssima in modo via via sempre più stringente quella normale a condizione che (il numero di righe o di tentativi) sia grande a piacere. Variando il numero delle righe si otterranno scarti quadratici medi (o deviazioni standard) differenti, generando di conseguenza ampiezze variabili per la curva a campana disegnata dalle palline cadute all'interno dei contenitori.

Storia

Francis Galton progettò storicamente la macchina all'interno di una più ampia presentazione destinata alle conferenze della Royal Institution datata 27 febbraio 1874. Il suo fine primario non era di natura strettamente matematica, bensì sociologica e speculativa: voleva promuovere l'impiego della classificazione gerarchica al posto della misurazione esatta nelle ricerche statistiche, per fare in modo che attributi umani complessi e intangibili, come l'intelligenza, potessero essere quantificati numericamente senza necessitare di prove oggettive. L'ammasso delle palline nella forma di distribuzione normale intendeva dimostrare, a suo parere, come un valore "medio" umano potesse sempre emergere naturalmente da test ripetuti.

Tuttavia, con la macchina Galton auspicava parallelamente di poter certificare che anche i valori d'intelligenza "estremi" (quelli geniali o quelli deleteri) fossero il diretto risultato dell'ereditarietà biologica. Questa assunzione entrò clamorosamente in contrasto con le evidenze sperimentali della sua stessa scatola, la quale generava code di valori estremi basandosi esclusivamente su scostamenti figli della casualità pura. Conscio della fallacia metodologica, nel 1875 Galton cercò di giustificare i risultati argomentando che la sua macchina non potesse riflettere i casi umani afflitti da quello che lui battezzò "fattore di influenza primaria".

In una corrispondenza privata inviata all'astronomo e matematico George Darwin nel 1877, Galton descrisse una seconda versione avanzata della macchina di sua invenzione. Essa era suddivisa verticalmente in due stadi: i contenitori situati sul fondo del livello superiore erano dotati di piccole botole meccaniche che, se aperte, avrebbero consentito alle palline di un determinato contenitore di cadere innescando il secondo stadio (una riproduzione miniaturizzata del quinconce iniziale). Il suo obiettivo sperimentale era quello di illustrare empiricamente il concetto della "reversione alla mediocrità": se le componenti demografiche "migliori" si fossero fuse, in assenza di rigido controllo matrimoniale, con le componenti definite "mediocri", i discendenti sarebbero inevitabilmente regrediti nel tempo verso un blando valore medio collettivo. Non si ha tuttavia prova accademica che questa seconda versione della macchina sia mai stata fisicamente realizzata.

Giochi Numerosi giochi d'azzardo e rompicapi impiegano un funzionamento meccanico in cui una rete di pioli costringe palline (o gettoni) a continue modifiche del percorso e a cadute pseudocasuali. La storiografia ludica suggerisce che sia stato proprio l'antico gioco del bagatelle a fungere da fonte originaria d'ispirazione per Galton durante la progettazione della sua macchina. Tra i passatempi più noti ispirati in toto o in parte alla macchina vi figurano: Bagatelle Flipper (noto all'estero come Pinball) Pachinko Payazzo Peggle Plinko (minigioco del celebre programma TV statunitense The Price Is Right) The Wall (telequiz a premi internazionale incentrato interamente su una gigantesca variante tecnologica della macchina di Galton)

Esempi

Note

Voci correlate Francis Galton Teorema del limite centrale Distribuzione binomiale Distribuzione normale Variabile casuale normale

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Categoria:Teoria della probabilità