In matematica, lassociatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere un'operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in un'espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un'operazione associativa. Si consideri ad esempio l'uguaglianza (5+2)+1 = 5+(2+1) Sommando 5 e 2 si ottiene 7, e sommando 1 si ottiene il risultato 8 per il membro a sinistra. Per valutare il membro a destra, si inizia a sommare 2 e 1 ottenendo 3, e quindi si somma 3 e 5 per ottenere 8 ancora. Quindi l'uguaglianza è verificata. Di fatto è verificata per tutti i numeri reali, non solo per 5, 2, e 1. Diciamo che "l'addizione nell'insieme dei numeri reali è un'operazione associativa".
Le operazioni associative sono frequenti in matematica, e infatti molte strutture algebriche richiedono esplicitamente che le loro operazioni binarie siano associative. Tuttavia, molte operazioni importanti non sono associative; un esempio comune è il prodotto vettoriale.
Definizione
Formalmente, un'operazione binaria su un insieme S è detta associativa se soddisfa la legge associativa:
L'ordine di valutazione non influisce sul valore di tale espressione, e si dimostra che lo stesso vale per le espressioni che contengono un numero arbitrario di operazioni . Quindi, quando è associativa, l'ordine di valutazione può essere lasciato non specificato senza causare ambiguità, omettendo le parentesi e scrivendo semplicemente:
Esempi
Seguono alcuni esempi di operazioni associative.
In aritmetica, l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali sono associative, cioè,
L'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi e dei quaternioni sono associative. La somma degli ottetti è ancora associativa, ma la moltiplicazione degli ottetti non è associativa. Le funzioni massimo comun divisore e minimo comune multiplo agiscono associativamente:
L'intersezione e l'unione di insiemi:
Se M è un dato insieme e S indica l'insieme di tutte le funzioni da M a M, allora l'operazione di composizione di funzioni su S è associativa:
Leggermente più in generale, dati quattro insiemi M, N, P e Q, con f: M a N, g: N a P, e h: P a Q, allora
come prima. In breve, la composizione di mappe è sempre associativa.
Una matrice rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto a basi fissate, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni lineari corrispondenti. Dunque dall'associatività della composizione di funzioni segue l'associatività del prodotto di matrici.
Non associatività
Un'operazione binaria su un insieme S che non soddisfa la legge associativa è detta non associativa. In simboli,
Per tale operazione l'ordine di valutazione è importante. La sottrazione, la divisione e l'esponenziazione sono esempi ben noti di operazioni non associative:
In generale, le parentesi devono essere usate per indicare l'ordine di valutazione, se un'operazione non associativa appare più di una volta in un'espressione. Tuttavia i matematici si accordano su un particolare ordine di valutazione per molte operazioni non associative comuni. Questa è una convenzione, e non una verità matematica.
Un'operazione associativa a sinistra è un'operazione non associativa che viene valutata convenzionalmente da sinistra a destra, cioè,
mentre un'operazione associativa a destra è valutata convenzionalmente da destra a sinistra:
Esistono sia operazioni associative a sinistra che operazioni associative a destra; sotto sono dati alcuni esempi.
Altri esempi
Le operazioni associative a sinistra includono: Sottrazione e divisione di numeri reali:
Le operazioni associative a destra includono le seguenti: Esponenziazione di numeri reali:
La ragione per cui l'esponenziazione è associativa a destra è che un'esponenziazione associativa a sinistra ripetuta sarebbe meno pratica: ad esempio, la funzione senza parentesi verrebbe identificata con . Le ripetizioni multiple possono (e, per chiarezza, vengono) riscritte con il simbolo di moltiplicazione:
l'operatore di assegnazione in molti linguaggi di programmazione è associativo a destra, ad esempio nel caso del linguaggio C: x = y = z; è equivalente a x = (y = z); e non a (x = y) = z;
In altre parole, l'istruzione assegna il valore di z sia a y che a x.
nel linguaggio di programmazione APL tutte le primitive sono definite in modo da avere la stessa precedenza e sono sempre associative a destra, ad esempio: ⍝ ad A e C vengono assegnati degli scalari, a B un vettore, ⋄ è il separatore di statement A←2 ⋄ B←1 2 3 4 5 ⋄ C←1 A×B ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B… 2 4 6 8 10 ⍝ … il risultato è un vettore B+C ⍝ somma lo scalare C ad ogni elemento del vettore B 2 3 4 5 6 A×B+C ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B+C 4 6 8 10 12 A×(B+C) ⋄ (A×B)+C 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 ovvero A×B+C è equivalente a A×(B+C) e non a (A×B)+C.
Operazioni non associative per cui non è stato definito nessun ordine convenzionale di valutazione includono le seguenti: Prendere la media di numeri reali:
Prendere il complemento relativo di insiemi:
Voci correlate Distributività Commutatività Semigruppo Associatività della potenza
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