La matematica della relatività generale comprende le strutture e le tecniche matematiche necessarie per lo studio e la formulazione della teoria della relatività generale di Albert Einstein. I principali strumenti utilizzati in questa teoria geometrica della gravitazione sono i campi tensoriali, definiti su una varietà lorentziana che rappresenta lo spaziotempo.Questa teoria si basa su concetti avanzati come il principio di covarianza generale, che stabilisce che le leggi della fisica devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento. La relatività generale utilizza il linguaggio dei tensori per descrivere la curvatura dello spaziotempo e le interazioni gravitazionali.
Il principio di covarianza generale e l'utilizzo dei tensori Il principio di covarianza generale è uno dei fondamenti nello sviluppo della relatività generale e stabilisce che le leggi della fisica devono mantenere la stessa forma matematica in tutti i sistemi di riferimento. Sebbene l'espressione, covarianza generale, sia stata utilizzata nella prima formulazione della relatività generale, oggi si preferisce il termine covarianza del diffeomorfismo. Anche se quest'ultima non rappresenta l'aspetto centrale della relatività generale e ci sono ancora controversie riguardo al suo ruolo nella teoria, la proprietà di invarianza delle leggi fisiche implicata nel principio, insieme al carattere essenzialmente geometrico della teoria, che fa uso di geometria non euclidea, ha portato alla formulazione della relatività generale attraverso il linguaggio matematico dei tensori. La covarianza del diffeomorfismo implica che le equazioni fisiche devono essere valide indipendentemente dal sistema di coordinate utilizzato, riflettendo così la natura intrinsecamente geometrica dello spaziotempo. Questo approccio ha permesso di unificare la descrizione della gravità con la geometria, dando origine a una teoria che non solo descrive le interazioni gravitazionali, ma lo fa in modo tale da essere valida in qualsiasi contesto, sia esso inerziale o non inerziale.
Spaziotempo come varietà differenziale
La maggior parte degli approcci moderni alla matematica della relatività generale inizia con la formalizzazione del concetto di varietà. In particolare, la descrizione geometrica della gravitazione avviene in una varietà lorentziana quadridimensionale, che è uniforme (smooth) e connessa.
Il fondamento logico per la scelta di una varietà come struttura matematica fondamentale risiede nella sua capacità di riflettere le proprietà fisiche desiderate. Nella teoria delle varietà, ogni punto è associato a un grafico di coordinate in modo univoco e può essere interpretato come una rappresentazione dello "spazio-tempo locale" attorno all'osservatore (rappresentato dal punto stesso). Il principio di covarianza di Lorentz locale stabilisce che le leggi della relatività speciale si conservano a livello locale in ogni punto dello spazio-tempo. Questo conferisce ulteriore supporto alla scelta di una struttura di varietà per rappresentare lo spazio-tempo, poiché, a livello locale attorno a un punto su una varietà generale, la regione si avvicina molto bene allo spazio di Minkowski (che è un modello bidimensionale dello spazio-tempo, con una dimensione per lo spazio e una per il tempo). Un'importante questione nella relatività generale è la possibilità di dichiarare che due spazi-tempi sono "equivalenti", almeno a livello locale. Questo problema ha radici nella teoria delle varietà, dove si determina se due varietà di Riemann della stessa dimensione siano localmente isometriche, ovvero "localmente identiche". Questa problematica è stata affrontata e il suo adattamento alla relatività generale è noto come algoritmo di Cartan-Karlhede. A partire da ogni punto di una varietà, è possibile costruire gli spazi tangenti e cotangenti alla varietà stessa.
Il concetto di grafici delle coordinate come "osservatori locali in grado di eseguire misurazioni nelle loro vicinanze" cattura efficacemente il senso fisico della situazione. Questo approccio rappresenta il modo in cui i dati fisici vengono raccolti a livello locale. In contesti cosmologici, un grafico di coordinate può estendersi su scale considerevoli. La distinzione tra strutture locali e globali è fondamentale, poiché le misurazioni in fisica sono tipicamente effettuate in regioni relativamente piccole dello spazio-tempo. Questa è una delle ragioni principali per cui si studia la struttura locale dello spazio-tempo nella relatività generale. Tuttavia, la determinazione della struttura globale dello spazio-tempo rimane cruciale, specialmente nei problemi cosmologici.
Un'importante questione nella relatività generale è la possibilità di dichiarare che due spazi-tempi siano "equivalenti", almeno a livello locale. Questo problema affonda le radici nella teoria delle varietà, dove si analizza se due varietà di Riemann della stessa dimensione siano localmente isometriche, ovvero "localmente identiche". Questo problema è stato affrontato e il suo adattamento alla relatività generale è noto come algoritmo di Cartan-Karlhede. Questo algoritmo fornisce un metodo sistematico per confrontare le strutture locali degli spazi-tempi, contribuendo così a una comprensione più profonda delle loro proprietà geometriche e fisiche.
Tensori nella relatività generale
(Viene usata la notazione astratta degli indici.)
Nella teoria della relatività, non esiste un sistema di riferimento privilegiato. La descrizione dei fenomeni fisici può avvenire rispetto a qualsiasi sistema di riferimento. Nella relatività ristretta, nessun sistema di riferimento inerziale è considerato privilegiato rispetto ad altri sistemi inerziali; tuttavia, questi ultimi godono di un certo privilegio rispetto ai sistemi non inerziali. Con la relatività generale, viene eliminato anche il privilegio dei sistemi inerziali, affermando che qualunque sistema di riferimento, sia esso inerziale o non inerziale, è adeguato per descrivere qualsiasi fenomeno fisico.
Ogni osservatore può effettuare misurazioni, e la quantità numerica esatta ottenuta dipende esclusivamente dal sistema di coordinate utilizzato. Questo ha portato a formulare la relatività attraverso "strutture invarianti", ovvero concetti che rimangono indipendenti dal sistema di coordinate scelto dall'osservatore. La struttura matematica più adatta per questo scopo è il tensore. Ad esempio, durante la misurazione del campo elettrico e magnetico generati da una carica in accelerazione, i valori dei campi variano a seconda del sistema di coordinate utilizzato. Tuttavia, i campi esistono indipendentemente dai loro valori specifici e possono quindi essere rappresentati dal tensore elettromagnetico.
Matematicamente, i tensori sono operatori lineari generalizzati, noti come mappe multilineari. Vengono studiati attraverso i concetti dell'algebra lineare.
A partire da ogni punto di una varietà, si possono costruire gli spazi tangenti e cotangenti. I vettori, talvolta chiamati vettori controvarianti, sono definiti come elementi dello spazio tangente, mentre i covettori, spesso indicati vettori covarianti, ma più comunemente vettori duali o uno-forme, appartengono allo spazio cotangente, che è duale rispetto allo spazio tangente.
Nel punto , gli spazi vettoriali tangente e cotangente possono essere utilizzati per costruire tensori di tipo , Questi tensori sono mappe multilineari di valore reale che operano sulla somma diretta di copie dello spazio cotangente e con copie dello spazio tangente. L'insieme di tutte queste mappe multilineari forma uno spazio vettoriale, noto come spazio prodotto tensoriale di tipo in e denotato da . Se lo spazio tangente è n-dimensionale, si può dimostrare che .
Questo significa che la dimensione dello spazio prodotto tensoriale dipende dal numero di copie degli spazi tangente e cotangente utilizzati nella costruzione del tensore. In altre parole, l'operazione di costruzione dei tensori permette di combinare le informazioni geometriche fornite dagli spazi tangente e cotangente, creando una struttura matematica complessa e ricca di significato.
Nella letteratura della relatività generale, per convenzione si utilizza la sintassi componente per i tensori.
Un tensore di tipo può essere scritto come
dove è una base per lo spazio tangente i-esimo e una base per lo spazio cotangente j-esimo.
Dato che lo spazio-tempo si presume quadri-dimensionale, ogni indice su un tensore può essere uno dei quattro valori. Quindi, il numero totale di elementi che un tensore possiede è pari a 4R, dove R è la somma dei numeri di indici covarianti e controvarianti sul tensore (un numero chiamato rango del tensore).
Tensori simmetrici e antisimmetrici
Alcune grandezze fisiche sono rappresentate da tensori che presentano componenti non indipendenti. Esempi significativi di tali tensori sono i tensori simmetrici e antisimmetrici. I tensori antisimmetrici, in particolare, sono comunemente utilizzati per rappresentare rotazioni, come il tensore di vorticità.
In un generico tensore di rango R in quattro dimensioni avente 4R componenti. Tuttavia, l'imposizione di vincoli come simmetria o antisimmetria riduce il numero di componenti distinte. Ad esempio, un tensore simmetrico di rango 2 soddisfa e possiede 10 componenti indipendenti. Al contrario, un tensore anitisimmetrico (obliquo-simmetrico) di rango due soddisfa ed ha 6 componenti indipendenti. Per i ranghi superiori a 2, è necessario identificare le coppie di indici che rappresentano simmetria o antisimmetria.
Per ranghi superiori a 2, è necessario identificare esplicitamente le coppie di indici che presentano simmetria o antisimmetria.I tensori antisimmetrici di rango 2 rivestono un ruolo fondamentale nella teoria della relatività. L'insieme di tutti questi tensori, spesso denominati bivettori, forma uno spazio vettoriale di dimensione 6, comunemente chiamato spazio bivettoriale. Questo spazio è cruciale per descrivere fenomeni fisici complessi e le loro interazioni all'interno del contesto relativistico.
Tensore metrico
Nella relatività generale, il tensore metrico è un oggetto centrale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo. Esso può essere ottenuto ad esempio risolvendo l'equazione di campo di Einstein. Usando l'approssimazione del campo debole, il tensore metrico può anche essere interprestato come una rappresentazione del potenziale gravitazionale.
Il tensore metrico è un tensore simmetrico che svolge un ruolo cruciale nel sollevare e abbassare gli indici dei tensori, oltre a generare le connessioni usate per costruire le equazioni del moto delle geodetiche e il tensore di curvatura di Riemann.
Un modo opportuno per esprimere il tensore metrico è attraverso l'elemento di linea:
Questa espressione è stata utilizzata dai pionieri della geometria differenziale ed è equivalente alla notazione:
Il tensore metrico è frequentemente rappresentato come una matrice . Grazie alla simmetria della metrica, questa matrice risluta simmetrica e ha solo 10 componenti indipendenti.Questo aspetto è fondamentale per comprendere le proprietà geometriche e fisiche dello spazio-tempo nella relatività generale.
Invarianti Uno degli aspetti centrali della relatività generale è il concetto di invarianza delle leggi fisiche. Questa invarianza può essere descritta in vari modi, ad esempio attraverso la covarianza di Lorentz locale, il principio generale di relatività o la covarianza dei diffeomorfismi.