Questo glossario delle strutture matematiche raccoglie, le principali strutture utilizzate in matematica (strutture algebriche, relazionali, topologiche, ecc.) e le tipologie di spazi su cui esse si basano. Per ogni struttura viene fornita una breve spiegazione, rimandando ad articoli specifici per la loro trattazione completa.

A Abeliano Aggettivo usato nella teoria dei gruppi per indicare che l'operazione binaria interna di gruppo, semigruppo, monoide, ecc. è commutativa oltre che associativa [indice]

Albero Grafo non orientato, connesso e privo di cicli (grafo non orientato nel quale ogni coppia di vertici è connessa da un solo cammino) [indice]

Algebra Un'algebra (intesa come struttura matematica) è uno spazio vettoriale V in cui sia definita anche un'operazione (solitamente chiamata "moltiplicazione" o "prodotto") fra i vettori. Questa operazione generalmente è associativa, per cui spesso si usa, come sinonimo di algebra, la dizione algebra associativa. Esistono varie categoria di algebre, che si differenziano fra loro dalle caratteristiche dello spazio vettoriale, delle proprietà della moltiplicazione fra vettori, o da ulteriori operazioni o restrizioni imposte su di esse.

*-algebra – Una *-algebra A è uno *-anello che sia un'algebra associativa su un altro *-anello B, sottoinsieme proprio di A Generalmente l'anello base è quello dei numeri complessi e l'operazione algebrica * rappresenta il complesso coniugato Algebra alternativa – Algebra su un campo in cui ogni sottoalgebra generata da due suoi elementi è associativa. Un'algebra alternativa non necessariamente è associativa – Ogni tipologia di algebra in cui la moltiplicazione fra vettori sia associativa Algebra commutativa - Ogni tipologia di algebra in cui la moltiplicazione fra vettori sia commutativa – Caso particolare di Algebra di Cayley-Dickson che estende l'algebra dei quaternioni mediante l'uso di 7 entità simboliche – Caso particolare di Algebra di Cayley-Dickson. I quaternioni sono entità matematiche che estendono il concetto di numero complesso: invece di avere una sola entità astratta che rappresenta l'unità immaginaria (il cui quadrato dà -1), i quaternioni utilizzano tre entità simboliche (rappresentate con i, j, k) legate fra loro e con i numeri reali da relazioni definite in modo che formino un corpo non commutativo (in particolare: da cui ecc.) – Caso particolare di Algebra di Cayley-Dickson che estende l'algebra degli ottonioni mediante l'uso di 15 entità simboliche – Algebra associativa su o che sia anche uno spazio di Banach e tale che la norma del prodotto sia sempre minore o uguale del prodotto delle norme – Algebra costruita su un insieme A di almeno due elementi, con due operazioni binarie (OR o disgiunzione ed AND o congiunzione), entrambe commutative ed entrambe distributive l'una rispetto all'altra; l'insieme di supporto A deve contenere un elemento neutro sia per l'operazione OR (convenzionalmente chiamato 0) sia per l'operazione AND (convenzionalmente chiamato 1); infine per ogni elemento x di A deve esistere il suo "complementare" x tale che OR(x, x') = 1 e AND(x, x')=0. La definizione di algebra di Boole può essere formulata, in modo equivalente, con altri sistemi di assiomi. L'insieme delle parti di un insieme, munito delle operazioni di unione, intersezione e complementazione costituisce un'algebra booleana isomorfa a qualunque altra algebra di Boole con uguale cardinalità. L'algebra binaria di Boole è la base per l'aritmetica dei calcolatori elettronici – È la più piccola σ-algebra su un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa (ovvero, che contenga tutti gli aperti della topologia). – Sequenza di algebre costruite sul campo dei numeri reali (ognuna ha il doppio delle dimensioni della precedente). Queste algebre estendono il concetto di numero complesso per arrivare a quello di numero ipercomplesso di cui fanno parte i quaternioni, gli ottetti, i sedenioni, ecc. – Algebra associativa che possiede una forma quadratica (polinomio omogeneo di 2º grado). Estende la nozione di numero complesso e ha applicazioni in fisica teorica – Algebra definita su una struttura nella quale esistono gli inversi moltiplicativi di ogni elemento – Algebra definita su una struttura algebrica munita di un'ulteriore operazione unaria D, detta derivazione, che soddisfa la regola di Leibnitz sulla derivazione classica di un prodotto: D(xy)=D(x)y+ xD(y) – Algebra che utilizza un gruppo come struttura base dello spazio vettoriale e l'estensione bilineare dell'operazione del gruppo come moltiplicazione dell'algebra - Struttura di verità della logica intuizionista. Simile all'algebra di Boole, non è detto che sia chiusa rispetto alla complementazione – Struttura che ha le proprietà di un'algebra associativa unitaria e di una coalgebra co-associativa e co-unitaria. Si tratta quindi di una bialgebra munita di antiautomorfismo - Algebra associativa definita su un insieme parzialmente ordinato localmente finito, e un qualsiasi anello commutativo dotato di unità – Algebra costruita su un sottoinsieme dell'insieme delle parti di un insieme assegnato. L'insieme deve soddisfare alcune condizioni: contenere l'insieme vuoto, per ogni sottoinsieme contenuto deve contenere anche il suo complementare, per ogni coppia di sottoinsiemi contenuti deve contenere anche la loro unione – Algebra su un campo, non necessariamente associativa, ma con la moltiplicazione commutativa e in cui vale l'identità xy(xx) = x(y(xx)) per ogni x e y – Algebra che generalizza le espressioni regolari. È definita su un semianello ed è munita di tre operazioni interne (somma, prodotto del semianello e una terza operazione indicata come "*"). Inoltre la somma deve essere idempotente, deve essere definito un ordine parziale sul semianello di sostegno, e sono definiti due ulteriori assiomi che riguardano l'operazione *: 1 + a(a*) ≤ a* per tutti gli a in A. 1 + (a*)a ≤ a* per tutti gli a in A – Algebra su un campo in cui sia definita un'ulteriore operazione interna all'insieme sostegno (prodotto di Lie) che sia bilineare, soddisfi l'identità di Jacobi e sia nilpotente. Viene usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico-analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili. – Algebra costruita sull'insieme delle funzioni di una varietà differenziabile (varietà di Poisson) - Algebra di Lie complessa che realizza un'estensione del campo dei polinomi complessi sulla circonferenza unitaria. Algebra normata – Algebra associativa su o che sia anche uno spazio normato e tale che la norma del prodotto sia sempre minore o uguale del prodotto delle norme – Struttura algebrica per la quale vale la regola , dove ed sono elementi del campo di base e un elemento invertibile dell'algebra – k-algebra commutativa. In modo equivalente si può dire che è un'algebra tensoriale commutativa – Algebra in cui lo spazio vettoriale insiste su un campo per cui è sinonimo di algebra – – Algebra dotata di elemento neutro (unità) per la moltiplicazione – Algebra di Banach sul campo complesso in cui viene definita un'operazione interna detta involuzione (*) che, in un certo senso, estende il concetto di complesso coniugato. Generalizzazione di una C*-algebra – Struttura che sia contemporaneamente un'algebra associativa unitaria e una coalgebra sullo stesso campo; entrambe le strutture devono essere fra loro compatibili – Algebra di Banach sul campo complesso in cui viene definita un'operazione interna detta involuzione (*) che gode della proprietà     per ogni . – Sinonimo di "Algebra su campo" e quindi di algebra – Sottinsieme dell'insieme delle parti di un dato insieme che contenga l'insieme vuoto, il complementare di ogni suo elemento e sia chiuso rispetto all'unione di un numero qualunque di suoi elementi. Una sigma-algebra è sempre anche un'algebra di insiemi. – Sinonimo di Algebra di Borel [indice]

Anello Struttura algebrica costituita da un insieme A in cui siano definite due operazioni binarie interne, chiamate convenzionalmente "addizione" (simbolo: +) e "moltiplicazione" (simbolo: •), in cui: l'addizione sia associativa e commutativa, dotata di elemento neutro e con ogni elemento dotato di inverso (in pratica (A, +) deve essere un gruppo abeliano) la moltiplicazione sia associativa (in pratica (A, •) deve essere un semigruppo) la moltiplicazione sia distributiva rispetto all'addizione. Se anche la moltiplicazione è commutativa, si parla di anello commutativoIn genere un insieme A che sia un anello si indica con (A, + •)Alcuni autori definiscono un anello in modo leggermente differente: viene richiesto che la moltiplicazione, oltre ad essere associativa, abbia anche l'elemento neutro (in pratica, quindi, si richiede che (A, •) sia un monoide e non semplicemente un semigruppo). Quindi in questo caso un anello coincide con quello che in questo glossario viene definito anello unitario, e la struttura definita inizialmente invece di anello viene chiamata pseudoanello [indice]

Anelloide Struttura algebrica costituita da un insieme (insieme sostegno) sul quale sono definite due operazioni binarie interne, dette convenzionalmente "addizione" (simbolo: +) e "moltiplicazione" (simbolo: •) che non sono obbligate a soddisfare alcuna condizione o proprietà. Per alcuni autori l'anelloide è tale solo se la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione [indice]

Anello unitario Anello in cui la moltiplicazione non solo è associativa, ma è dotata di elemento neutro (detto unità) [indice] Antiautomorfismo Applicazione biunivoca di un insieme su se stesso che sia un antiomomorfismo e la cui inversa sia pure un antiomomorfismo [indice]

Antiomomorfismo Funzione tra due strutture algebriche dello stesso tipo dotate di moltiplicazione che inverte l'ordine dei fattori della moltiplicazione (in pratica, se f è la funzione, allora f(xy) = f(y)f(x) ) [indice]

Automorfismo Isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. È quindi un modo di mappare l'oggetto su se stesso preservandone tutte le strutture caratteristiche [indice]

B B*-algebra Vedere algebra [indice]

Bialgebra Vedere algebra [indice]

C C*-algebra Vedere algebra [indice]

Campo Struttura algebrica costituita da un insieme A dotato di due operazioni: somma (+) e moltiplicazione (•) tale che (A,+) sia un gruppo abeliano con 0 come elemento neutro, (A-{0}, •) sia un gruppo abeliano con 1 come elemento neutro, e la moltiplicazione sia distributiva rispetto alla somma. In pratica un campo è un corpo commutativo. I campi sono essenziali per la definizione degli spazi vettoriali [indice]

Campo ordinato Campo dotato di un ordinamento totale [indice]

Ciclo Sinonimo di Loop Coalgebra Struttura duale ad un'algebra associativa unitaria. Ciò significa che, se si rappresentano gli assiomi di un'algebra tramite diagrammi commutativi, per ottenere gli assiomi della coalgebra basta invertire il senso di tutte le frecce [indice]

Corpo Struttura algebrica costituita da un insieme A dotato di due operazioni: somma (+) e moltiplicazione (•) tale che (A,+) sia un gruppo abeliano con 0 come elemento neutro, (A-{0}, •) sia un gruppo con 1 come elemento neutro, e la moltiplicazione sia distributiva rispetto alla somma. In pratica un corpo si differenzia da un è un campo in quanto la moltiplicazione non è commutativa [indice]

D Digrafo Grafo in cui gli archi sono orientati [indice]

Dominio d'integrità Anello commutativo in cui gli elementi neutri additivo (0) e moltiplicativo (1) sono fra loro distinti e il prodotto di due qualunque elementi diversi da 0 è ancora un elemento diverso da 0 (in pratica è un anello commutativo privo di divisori dello zero) [indice]

E Endomorfismo Funzione dall'insieme sostegno di una struttura algebrica in sé stessa, che preservi le operazioni. In altre parole, è un omomorfismo della struttura algebrica in sé stessa [indice] Epimorfismo Omomorfismo suriettivo [indice]

G Grafo