In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione..
Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.
Definizione Sia uno spazio topologico. Un sottoinsieme di è denso in se l'unico sottoinsieme chiuso di contenente è stesso, ovvero la chiusura di è .
Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. è denso in se e solo se:
Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di interseca . Il complementare di ha parte interna vuota. Ogni punto di o appartiene ad o è un punto di accumulazione per .
Esempi
Ogni spazio topologico è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in . Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numeri algebrici, dei numeri trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi. Se e è denso in , allora anche è denso in . Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine. Il complementare di un insieme mai denso è denso. Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo. Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme delle funzioni continue sull'intervallo , dotato della distanza
Uno spazio metrico è denso nel suo completamento
Note
Bibliografia
Voci correlate
spazio separabile, uno spazio con un sottoinsieme denso numerabile ordine denso, la nozione di "densità" in teoria degli ordini insieme mai denso, un insieme che non è denso in alcun aperto
Altri progetti
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale