In fisica teorica, in particolare in teoria quantistica dei campi e in meccanica statistica, il gruppo di rinormalizzazione (in inglese renormalization group, abbreviato RG) è una tecnica che permette di studiare i cambiamenti di un sistema multiscala alle differenti scale di distanza. Le trasformazioni di rinormalizzazione diminuiscono l'informazione (sono lossy), poiché il numero di variabili diminuisce. Per questo motivo, non hanno una trasformazione inversa e il gruppo di rinormalizzazione è in realtà un semigruppo. In teoria dei campi, riflette i cambiamenti delle leggi al variare della scala di energia alla quale il processo fisico avviene. Un cambio della scala è detto "trasformazione di scala" o, più in generale, "trasformazione conforme". Il gruppo di rinormalizzazione è intimamente legato alla "invarianza di scala", una simmetria per la quale il sistema appare lo stesso a tutte le scale (auto similarità).
Cambiare scala equivale a cambiare l'ingrandimento di un microscopio con cui si osserva il sistema. Il sistema generalmente produce una copia di se stesso con parametri leggermente diversi che descrivono le sue componenti. Le componenti, o variabili fondamentali, possono rappresentare atomi, particelle fondamentali, spin atomici, ecc. I parametri della teoria descrivono le interazioni tra le componenti. Possono essere costanti di accoppiamento, che misurano l'intensità delle forze, o i parametri di massa. Le stesse componenti possono apparire composte da più componenti della stessa specie andando a distanze minori.
Ad esempio, un elettrone appare composto di elettroni, antielettroni e fotoni osservato a distanze molto piccole. L'elettrone a distanze molto piccole ha una carica leggermente diversa rispetto a quella "vestita" misurata a grandi distanze e questo cambiamento, o "scorrimento" (running), del valore della carica elettrica è determinato dall'equazione del gruppo di rinormalizzazione.
Storia del gruppo di rinormalizzazione L'idea delle trasformazioni di scala e dell'invarianza di scala è molto antica in fisica. Concetti che hanno a che fare con il cambiamento di scala erano comuni per la scuola pitagorica, per Euclide e per Galileo. Sono tornati alla ribalta alla fine del XIX secolo, ad esempio negli studi di Reynolds sulla viscosità, per spiegare il fenomeno della turbolenza.
La teoria dei gruppi di rinormalizzazione fu inizialmente sviluppata nell'ambito della fisica delle particelle, ma oggi le sue applicazioni si estendono alla fisica dello stato solido, alla meccanica dei fluidi e alle nanotecnologie. Con un pionieristico articolo del 1953 Ernst Stueckelberg e Andre Peterman anticiparono l'idea nella teoria quantistica dei campi. Questi autori notarono che la rinormalizzazione possiede un gruppo di trasformazioni che trasferiscono quantità dai termini "nudi" ai controtermini. Murray Gell-Mann e Francis E. Low nel 1954 restrinsero lo studio alle trasformazioni di scala in elettrodinamica quantistica (QED) , che sono quelle più fisicamente rilevanti. Questi autori proposero una funzione matematica della costante di accoppiamento g della teoria, , la quale determina il cambiamento della costante di accoppiamento per un cambiamento dell'energia di scala attraverso l'"equazione di rinormalizzazione":
dove è indicata anche la formulazione più moderna, in cui compare la funzione introdotta da Curtis Callan e Kurt Symanzik nei primi anni settanta. Le prime applicazioni all'elettrodinamica quantistica sono discusse nell'importante libro di Bogoljubov e Širkov nel 1959.
Il gruppo di rinormalizzazione ha origine dalle regolarizzazione delle variabili di campo, cioè dal problema delle quantità infinite che sono generate dalla teoria quantistica (il RG esiste indipendentemente da queste quantità infinite). Il problema di trattare questi infiniti fu risolto per l'elettrodinamica quantistica da Richard Feynman, Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga, che ricevettero il premio Nobel nel 1965 per questi contributi. Derivarono la teoria della rinormalizzazione della carica elettrica e della massa in cui gli infiniti sono eliminati con l'introduzione di una scala di massa ultra-larga implicita, . La dipendenza delle quantità fisiche, come la carica elettrica e la massa dell'elettrone, da è nascosta, e si manifesta nella scala a cui le quantità fisiche sono misurate.
Gell-Mann e Low si accorsero che la scala effettiva può essere definita arbitrariamente come e può essere variata per definire la teoria ad ogni altra scala. L'idea principale del RG è che, quando variamo la scala , la teoria produce una copia auto-simile di se stessa, con un piccolo cambio della costante di accoppiamento g, dato dall'equazione del RG e dalla funzione . L'auto-similarità deriva dal fatto che dipende solo dai parametri della teoria e non dalla scala .
Una comprensione più profonda del significato fisico del gruppo di rinormalizzazione viene dalla fisica della materia condensata. L'articolo di Leo P. Kadanoff del 1966 propose il gruppo di rinormalizzazione a blocchi per sistemi di spin. L'idea dei blocchi è un modo per definire i componenti della teoria a una scala grande come aggregati di componenti a una scala più piccola. Questo approccio contiene già il punto essenziale e può essere reso esatto, come fu dimostrato dai contributi di Kenneth Wilson. La forza dell'idea di Wilson fu dimostrata della soluzione costruttiva e dalla rinormalizzazione nel 1974 di un problema a lungo irrisolto, il problema di Kondo, e dai precedenti sviluppi di questo nuovo metodo nella teoria delle transizioni di fase di seconda specie e dei fenomeni critici nel 1971. Wilson vinse il premio Nobel nel 1982 per i suoi contributi.
In fisica delle particelle, il gruppo di rinormalizzazione fu riformulato nel 1970 in termini più fisici ad opera di C. G. Callan e K. Symanzyk. Fu scoperto che la funzione , che descrive lo "scorrimento" della costante di accoppiamento con la scala, è anche l'"anomalia canonica di traccia" che rappresenta nella meccanica quantistica la rottura della simmetria di scala di una teoria di campo. Anche nella meccanica quantistica si può introdurre una massa attraverso l'anomalia di traccia e lo scorrimento della costante di accoppiamento. Le applicazioni del gruppo di rinormalizzazione alla fisica delle particelle esplose durante gli anni settanta con la consacrazione del Modello Standard.
Nel 1973 fu scoperto che una teoria di quark "colorati" interagenti, detta cromodinamica quantistica (quantum cromodynamics, QCD), ha una funzione negativa. Questo significa che un valore iniziale di scala ad alta energia della costante di accoppiamento produce un valore speciale di in cui la costante di accoppiamento diverge. Questo valore speciale è la scala delle interazioni forti, , e si trova circa a 150 MeV. Viceversa, la costante di accoppiamento diventa piccola ad energie molto alte e i quark diventano osservabili come particelle puntiformi.
Il gruppo di rinormalizzazione nello spazio dei momenti divenne uno strumento molto sviluppato anche nella fisica dello stato solido, ma il suo successo fu ostacolato dall'uso estensivo della teoria delle perturbazioni, che impediva alla teoria di essere studiata in sistemi fortemente correlati. Per studiare questi sistemi fortemente correlati, sono migliori gli approcci variazionali. Nel corso degli anni ottanta alcune tecniche di gruppo di rinormalizzazione sugli spazi reali furono sviluppate in questa direzione. Lo sviluppo più interessante fu il gruppo di rinormalizzazione della matrice di densità (density matrix RG, DMRG) sviluppato da S. R. White e R. M. Noack nel 1992.
La simmetria conforme è associata all'annullamento della funzione . Questo può verificarsi naturalmente se la costante di accoppiamento è attratta, nel suo scorrimento, da un punto fisso in cui . Nella QCD, il punto fisso si trova a piccole distanze, dove , ed è detto punto fisso ultravioletto (banale). Per quark pesanti, come il quark top, si trova che l'accoppiamento al bosone di Higgs, responsabile della massa della particella, scorre verso un punto fisso infrarosso non nullo (non banale).
Nella teoria delle stringhe si richiede l'invarianza conforme del foglio di stringa (world-sheet) come simmetria fondamentale, vale a dire . Qui dipende dalla geometria dello spazio tempo in cui le stringhe si muovono. Questo determina la dimensione dello spazio tempo della teoria delle stringhe e impone l'equazione di Einstein della relatività generale sulla geometria.
Il gruppo di rinormalizzazione è di fondamentale importanza per la teoria delle stringhe e le teorie della grande unificazione. Inoltre è l'idea chiave della moderna interpretazione dei fenomeni critici nella fisica della materia condensata. Il gruppo di rinormalizzazione è diventato uno dei più importanti strumenti della fisica moderna.
Rinormalizzazione a blocchi In questa sezione si introduce, in modo pedagogico, una semplice descrizione del gruppo di rinormalizzazione: la rinormalizzazione a blocchi. Fu derivata da Kadanoff nel 1966.
In questo schema si considera un solido bidimensionale, composto da un insieme di atomi su un reticolo quadrato, come mostrato in figura. Assumiamo che ogni atomo interagisca solo con i suoi primi vicini e che il sistema sia a temperatura T. L'intensità della loro interazione è misurata da una costante di accoppiamento J e la fisica del sistema è descritta dall'hamiltoniana
Il metodo si basa sulla suddivisione del solido in blocchi, ad esempio di . Il sistema si descrive in termini di variabili di blocco, cioè di qualche grandezza che descrive il comportamento medio del singolo blocco. Inoltre si assume che la fisica delle variabili di blocco è descritta da una hamiltoniana dello stesso tipo, ma con valori diversi per temperatura e accoppiamento . (Questo non è esattamente vero, ma è spesso approssimativamente vero in pratica e l'approssimazione è abbastanza buona.)
Se il problema iniziale era troppo difficile da risolvere, perché c'erano troppi atomi, nel problema rinormalizzato ci sono solo un quarto degli atomi iniziali. Se si ripete la procedura si arriva a un hamiltoniana e solo un sedicesimo degli atomi originali. A ogni passo di rinormalizzazione aumenta la scala di osservazione.
L'idea migliore è di iterare il procedimento finché resta un unico enorme blocco. Poiché il numero di atomi in ogni campione di materiale è molto grande, questo è equivalente a trovare il comportamento a lungo termine della trasformazione di rinormalizzazione che trasforma . Di solito, quando viene iterata molte volte, la trasformazione di rinormalizzazione porta a un certo numero di punti fissi.
Per essere più concreti, consideriamo un sistema magnetico (il modello di Ising), in cui la costante di accoppiamento J misura la tendenza di spin vicini di essere paralleli. La fisica del sistema è determinata dalla competizione tra il termine di accoppiamento, che ordina gli spin, e l'effetto della temperatura, che distrugge l'ordine. Per molti modelli di questo tipo ci sono tre punti fissi
e . Questo significa che su larga scala la temperatura diventa ininfluente, cioè il fattore disordinante si annulla. Perciò, su larga scala, il sistema appare ordinato (gli spin sono tutti paralleli) e il materiale è in fase ferromagnetica. e . È il caso opposto, il fattore disordinante domina e il sistema è disordinato su larga scala. Un punto fisso intermedio non banale per e . In questo punto, cambiare la scala non cambia la fisica del sistema, perché il sistema è in uno stato frattale. Questo punto corrisponde alla transizione di fase ed è anche detto punto critico.
Perciò, dato un materiale con valori dati di T e J, per scoprire il comportamento a grande scala si deve iterare il procedimento finché il sistema raggiunge uno dei punti fissi. Elementi di teoria del gruppo di rinormalizzazione