La Scuola del Kerala è stata un'importante scuola di matematici e astronomi ivi fiorita tra il XIV e il XVI secolo. Fu fondata da Madhava di Sangamagrama (ca. 1350 - ca. 1425) e tra i suoi membri vanno ricordati: Narayana Pandit, Parameshvara, Nilakantha Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri e Achyuta Panikkar. Si ritiene che le scoperte originali della scuola siano terminate con Narayana Bhattathiri (1559-1632).
Nel tentativo di risolvere problemi astronomici, la scuola del Kerala sviluppò autonomamente un gran numero di importanti concetti matematici. I loro risultati più importanti, gli sviluppi in serie di funzioni trigonometriche, sono stati descritti mediante versi in sanscrito in un libro di Neelakanta chiamato Tantrasangraha, e anche in un commentario su questo lavoro, chiamato Tantrasangraha-vakhya, di autore ignoto. I teoremi vennero enunciati senza dimostrazione, ma le dimostrazioni relative alle serie per seno, coseno e tangente furono fornite un secolo più tardi nel lavoro Yuktibhasa (c.1500-c.1610), scritto in malayalam da Jyesthadeva, e anche in un commentario su Tantrasangraha.Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
La loro scoperta di queste tre importanti sviluppi in serie — molti secoli prima che fossero sviluppati in Europa da Leibniz e Newton — fu una pietra miliare per la matematica. Non si può comunque dire che la scuola del Kerala abbia inventato il calcolo infinitesimale in quanto, mentre i matematici del Kerala erano in grado di sviluppare in serie di Taylor le funzioni trigonometriche, non svilupparono una teoria globale del calcolo differenziale o integrale, né svilupparono i teoremi fondamentali dell'analisi.
Contributi Serie infinite e calcolo infinitesimale Le serie geometriche (infinite): con Singh, A. N. 1936. "On the Use of Series in Hindu Mathematics." Osiris 1:606-628. Questa formula era già nota, per esempio, nel lavoro del matematico arabo del X secolo Alhazen (forma latinizzata del nome Ibn Al-Haytham).Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag. Una dimostrazione semi-rigorosa (si veda l'"induzione" considerata sotto) del risultato: per n grande. Questo risultato era noto anche ad Alhazen. Uso intuitivo dell'induzione matematica. Comunque, le ipotesi induttive non furono formulate o impiegate in dimostrazioni. Applicazione delle idee (che non erano ancora sviluppate) del calcolo differenziale ed integrale per ottenere lo sviluppo in serie di Taylor-Maclaurin per , e Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13. Il Tantrasangraha-vakhya diede le serie in versi, che, tradotte in notazione matematica, possono essere scritte come: dove
dove, per , le serie si riducono alle note serie di potenze per queste funzioni trigonometriche, ad esempio: e (La scuola del Kerala non usava il simbolismo "fattoriale".) Uso della rettificazione (calcolo della lunghezza) di un arco di circonferenza per dimostrare questi risultati. Il successivo metodo di Leibniz, che faceva uso delle quadrature (cioè per calcolare larea sottesa ad un arco di circonferenza), non fu usato. Uso dello sviluppo in serie di per ottenere un'espressione di serie infinita (più tardi nota come serie di Gregory) per :
Un'approssimazione razionale dellerrore per le somme finite delle serie di loro interesse. Per esempio, l'errore, , (per n dispari e i = 1, 2, 3) per le serie:
dove Manipolazione del termine di errore per ottenere una migliore convergenza delle serie per :
Uso di serie perfezionate per dedurre un'espressione razionale, , per corretta fino alla nona posizione decimale, i.e. Uso di una nozione intuitiva di limite per calcolare questi risultati. Un metodo semi-rigoroso (si veda l'osservazione sui limiti qui sopra) di differenziazione di alcune funzioni trigonometriche.Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174. Comunque non formularono la nozione di funzione, né conoscevano le funzioni esponenziali e logaritmiche.
Il lavoro della scuola del Kerala fu per la prima volta documentato al mondo occidentale dall'inglese C. M. Whish nel 1835. Secondo Whish, i matematici del Kerala avevano "posto i fondamenti per un completo sistema di flussioni" e questi lavori abbondavano "di forme flussionali e serie come non era possibile trovare nel lavoro di alcun paese straniero."Whish, Charles. 1835. "Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland". Comunque i risultati di Whish rimasero piuttosto trascurati fino a più di un secolo più tardi, quando le scoperte della scuola del Kerala furono indagate nuovamente da C. Rajagopal e dai suoi associati. Il loro lavoro include un commentario sulle dimostrazioni della serie arctan in Yuktibhasa dato in due studi,Rajagopal, C. e Rangachari, M. S. 1949. "A Neglected Chapter of Hindu Mathematics." Scripta Mathematica. 15:201-209.Rajagopal, C. e Rangachari M. S. 1951. "On the Hindu proof of Gregory's series." Ibid. 17:65-74. un commentario sul Yuktibhasa dimostra le serie di seno e cosenoRajagopal, C. e Venkataraman A. 1949. "The sine and cosine power series in Hindu mathematics." Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science). 15:1-13. e due studi che si occupano dei versi in sanscrito del Tantrasangrahavakhya relativo alle serie per arcotangente, seno e coseno (con traduzione inglese e commentario).Rajagopal, C. e Rangachari M. S. 1977. "On an untapped source of medieval Keralese mathematics." Archive for the History of Exact Sciences. 18:89-102.Rajagopal, C. e Rangachari M. S. 1986. "On Medieval Kerala Mathematics." Archive for the History of Exact Sciences. 35:91-99.
Geometria, aritmetica e algebra Una formula per l'eclittica. La formula di Lhuilier per il circumcerchio di un quadrilatero ciclico. Numeri decimali a virgola mobile. Metodi iterativi per la soluzione di equazioni non-lineari. La formula di interpolazione di Newton-Gauss ad opera di Govindaswami.
Astronomia e lettere Una procedura per determinare la posizione della Luna ogni 36 minuti. Metodi per stimare il moto dei pianeti. Una formulazione per l'equazione del centro dei pianeti. Un modello eliocentrico del sistema solare.
La scuola del Kerala contribuì anche molto allo sviluppo delle lettere: La tradizione ayurvedica e poetica del Kerala venne fondata da questa scuola. Il famoso poema, Narayaneeyam, fu composto da Narayana Bhattathiri.
Matematici Importanti Madhava di Sangamagrama Madhava (c. ) fu il fondatore della scuola del Kerala. Sebbene sia possibile che sia l'autore del Karana Paddhati, scritto tra il 1375 e il 1475, tutto quello che sappiamo in realtà del suo lavoro proviene dalle opere di studiosi successivi.
Narayana Pandit Pandit Narayana, uno tra i più importanti matematici del Kerala, ha scritto due lavori, un trattato di aritmetica chiamato Ganita Kaumudi e un trattato di algebra chiamato Bijganita Vatamsa. Si pensa che Narayana sia anche l'autore di un elaborato commentario del Lilavati di Bhāskara II, intitolato Karmapradipika (o Karma-Paddhati).
Parameshvara Parameshvara, il fondatore del sistema di astronomia, è stato un autore prolifico di molti importanti lavori. Appartenne al paese di Alathur sulla riva del Bharathappuzha. Si dice che abbia effettuato osservazioni astronomiche dirette per cinquantacinque anni prima di scrivere il suo famoso lavoro, Drigganita. Scrisse anche commentari relativi ai lavori di Bhāskara I, Āryabhaṭa e Bhāskara II. Il suo Lilavathi Bhasya, un commentario sul Lilavathi di Bhāskara II, contiene una delle sue più importanti scoperte: Una significativa versione del teorema del valor medio, che è il più importante risultato nel calcolo differenziale e uno dei teoremi più importanti in analisi matematica. Questo risultato fu più tardi essenziale per dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Il Siddhanta-Deepika di Paramesvara è un commentario relativo al commentario di Govindsvamin sul Maha-bhaskareeya di Bhāskara I . Contiene: Alcune delle sue osservazioni di eclissi, inclusa una fatta a Navakshethra nel 1422 e due a Gokarna nel 1425 e nel 1430. Una formula, legata al valor medio, per l'interpolazione inversa del seno di una funzione. Presenta una tecnica iterativa a un punto per calcolare il seno di un angolo dato. Una più efficiente approssimazione che funziona usando un algoritmo interativo a due punti, che è essenzialmente equivalente al moderno metodo delle secanti.
Fu anche il primo matematico che: Diede un'espressione, che normalmente è attribuita a L'Huiliern (1782), per calcolare il raggio di una circonferenza con iscritto un quadrilatero ciclico.
Nilakantha Nilakantha Somayaji fu un discepolo di Govinda, figlio di Parameshvara. Fu un bramino a Trikkantiyur, città nei pressi di Tirur. Anche il suo più giovane fratello, Sankara, fu uno studioso di astronomia. Nel suo lavoro più significativo Tantra Samgraha Nilakantha (cui fece seguito un commentario anonimo Tantrasangraha-vyakhya e un ulteriore commentario intitolato Yukthideepika, scritto nel 1501) elaborò ed ampliò i contributi di Madhava. Purtroppo nessuno dei suoi lavori matematici è ancora esistente, comunque si può affermare che fu un matematico di notevole importanza. Nilakantha fu anche l'autore di Aryabhatiya-bhashya un commentario del Aryabhatiya. Apporti significativi nel lavoro di Nilakantha includono: La presenza di dimostrazioni matematiche induttive. Deduzione e dimostrazione delle serie di Madhava-Gregory della funzione trigonometrica arcotangente. Miglioramenti e dimostrazioni di altri sviluppi in serie infinite di Madhava. Un miglioramento dello sviluppo in serie di π/4 che converge più rapidamente. La relazione tra le serie di potenze di π/4 e l'arcotangente. Spiegazioni sofisticate dell'irrazionalità di π. La corretta formulazione dell'equazione del centro dei pianeti. Un corretto modello eliocentrico del sistema solare.
Chitrabhanu (circa 1530) Citrabhanu fu un matematico del Kerala del sedicesimo secolo che diede soluzioni intere a 21 tipi di sistemi di due equazioni simultanee Diofantine in due incognite. Questi tipi sono tutte le possibili coppie di equazioni delle seguenti sette forme:
Per ciascun caso, Chitrabhanu diede una spiegazione e giustificazione della sua regola, così come un esempio. Alcune delle sue spiegazioni sono algebriche, mentre altre sono geometriche.
Jyesthadeva (circa 1500–1600) Jyesthadeva fu un altro membro della scuola di Kerala. Il suo lavoro chiave fu il Yuktibhasa (scritto in malayalam, una lingua regionale dello stato indiano del Kerala), il primo testo al mondo di calcolo infinitesimale. Contiene molti degli sviluppi della matematica della prima scuola del Kerala, in particolare da Madhava. Simile al lavoro di Nilakantha, è unico nella storia della matematica indiana, in particolare contiene: Dimostrazioni di teoremi. Deduzione di regole e di serie. Deduzione e dimostrazione delle serie di Madhava-Gregory della funzione arcotangente. Dimostrazioni di molti teoremi matematici e di serie infinite precedentemente scoperte da Madhava e da altri matematici della scuola del Kerala. Dimostrazione dello sviluppo in serie della funzione arcotangente (equivalente alla dimostrazione di Gregory) e delle funzioni seno e coseno.
Studiò anche diversi argomenti trovati in molti lavori indiani precedenti, tra questi: Soluzioni intere di un sistema di equazioni di primo grado risolte utilizzando il metodo kuttakaranam. Regole per trovare i seni e i coseni della somma e della differenza di due angoli.
Jyesthadeva diede inoltre: La prima enunciazione del teorema di Wallis. Deduzioni geometriche di serie.
Sankara Varman