Lintegrale di Gauss, detto anche integrale gaussiano, è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (o "distribuzione gaussiana"), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da a sia , è detta anche funzione gaussiana.
La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:
o l'equivalente
Una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:
dove è reale e positivo.
Nel caso in cui l'esponente presenti numeri immaginari:
Per una funzione a più variabili, dove è una matrice simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:
dove l'integrazione è effettuata su .
Cenni storici Quello che oggi va sotto il nome di integrale di Gauss fu scoperto inizialmente da Abraham de Moivre nel 1733. In seguito, vennero fatte ulteriori elaborazioni dai matematici Pierre-Simon Laplace e Siméon Denis Poisson. Infine, nel 1809 venne reso noto universalmente, appunto, dal celebre matematico Gauss.
Calcolo dell'integrale L'integrale indefinito non è esprimibile in termini di funzioni elementari; di conseguenza, anche nel caso di integrale definito è impossibile usare la primitiva di per calcolare la differenza tra i due estremi ed ottenere il valore cercato. Tuttavia esistono alcuni metodi che permettono di aggirare il calcolo esplicito della primitiva.
Coordinate polari nel piano Consideriamo l'integrale:
Consideriamo ora l'integrale:
Osserviamo che, posto , possiamo scrivere: , in virtù di ciò segue:
Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva, sarà sufficiente calcolare il valore dell'integrale doppio esteso ad , che è un integrale generalizzato, e poi estrarre la radice quadrata del risultato.
Calcoliamo dunque:
dove con
Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano:
dunque:
Quindi
e quindi
Un altro integrale gaussiano
Vediamo come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:
con Riscriviamo il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:
Sostituendo si ha:
Poiché il primo membro dell'esponenziale non dipende da , può essere portato fuori, in tal modo:
Effettuando il cambio di variabile
si ottiene
che è l'integrale gaussiano già calcolato alla sezione precedente e che dà
Note
Voci correlate Distribuzione normale Teorema di Fubini Integrale di Eulero Integrale di Fresnel
Collegamenti esterni
Gauss Categoria:Teoremi di analisi matematica